POLYNESIE  Série S  Juin 1997  Exercice

On considère dans un plan  un triangle équilatéral ABC de côté a (a est un réel strictement positif).   1.    Construire le barycentre D du système .   2.                a.  Déterminer  en fonction de a. b.     Montrer que les droites  et  sont parallèles et que le triangle BCD est rectangle en B.   3.    Calculer les distances CD, BD et AD en fonction de a. 4.    Pour tout point M du plan, on pose  et on désigne par  l’ensemble des points M du plan tels que . a.     Vérifier que C appartient à . b.     Exprimer  en fonction de la distance MD et de a. c.     Déterminer et construire . 5.    Pour tout point M du plan, on pose . a.     Déterminer l’ensemble  des points M du plan tels que . b.     Soit I le point d’intersection autre que C des ensembles  et . Montrer que le triangle CDI est équilatéral.

 

 

Si cet exercice met en jeu des objets géométriques simples du plan (points, droites, et triangles), il requiert, entre autres, de maîtriser les notions de barycentre et de produit scalaire.

 

 

 

 Question 1.a.

 

 

 

 

La somme des coefficients du système considéré étant non nul, le point D est parfaitement défini.

 

Par définition, on dispose de l’égalité vectorielle :

 

 

 

On peut transformer cette égalité comme suit de façon à ce que D n’apparaisse que dans un seul vecteur :

 

 

 

 

Pour construire le point D, on peut donc procéder comme suit (voir la figure correspondante ci-après) :

 

• Construire, en partant de A, le vecteur
  
  . On obtient ainsi le vecteur
  
  .
• Construire, à partir de B’ le vecteur
  
   tel que
  
  .

 

 

 

 

 Question 2.a.

 

On a :  et .

Or ABC est un triangle équilatéral donc .

Comme , il vient finalement :

 

 

 

 Question 2.a.

 

A partir de la définition vectorielle du point D on a :

 

 

 

On en déduit alors :

 

 

 

Considérons maintenant le produit scalaire .

 

On a :  

 

Comme  et , on a alors :  

 

Mais on a calculé :  et, par ailleurs, on a : .

 

Il vient donc : .

 

Les vecteurs  et  sont donc orthogonaux et on en déduit, finalement :

 

 

 

 

 

 Question 3.

 

Comme  et , il vient :  

 

BCD étant un triangle rectangle en B, on a : .

 

D’où : . Il vient donc :  

 

Pour calculer la distance AD, nous introduisons le point E (voir figure ci-dessous) défini comme suit : la droite  est parallèle à la droite  et E appartient à la droite .

 

 

 

 

Comme les droites  et  sont orthogonales (BCD est rectangle en B), il en va de même pour les droites  et  et le triangle AED est rectangle en E.

 

La distance EB est égale à la hauteur du triangle équilatéral ABC, soit .

On a donc : .

 

Par ailleurs, .

On a donc : .

 

D’où, finalement : .

 

 

 

 Question 4.a.

 

 

 

On a : . D’où :

 

 

 

 Question 4.b.

 

Puisque l’on cherche à exprimer  en fonction de la distance MD et de a, il convient de faire apparaître le point D.

Pour cela, nous allons utiliser des vecteurs :

 

 

 

Par définition du point D, on a : .

 

On a donc, pour tout point M :  

 

Par ailleurs, on a : .

 

Il vient donc : .

 

 

 

 Question 4.c.

 

D’après la question précédente, on a : .

Or, .

 

On en déduit que  est l’ensemble des points du plan  dont la distance au point D est égale à 2a. Soit, en d’autres termes :

 

 

 

 est représenté sur la figure ci-dessous.

 

 

 

 Question 5.a.

 

On a : .

 

Comme les droites  et  sont orthogonales, il vient :

 

 

 

On en déduit alors que l’ensemble  est la droite orthogonale à la droite  et passant par B. Il s’agit donc de la droite .

 

 

 

 Question 5.b.

 

Puisque les points C et I appartiennent au cercle , on a : .

On en déduit que le triangle CDI est isocèle de sommet principal D.

 

Mais  est la hauteur issue de D puisque l’on a vu plus haut que  et  étaient orthogonales. On en déduit que B est le milieu de [CI] et donc que : .

 

Soit, finalement : .

 

 

 

Note : on pouvait aussi, dans le triangle CBD, considérer l’angle .

On a :  et on en déduit  Résultat permettant de conclure comme précédemment.