PONDICHERY  Série S  Juin 1999  Exercice

On considère un triangle ABC du plan.   1.                a.  Déterminer et construire le point G, barycentre de . b.     Déterminer et construire le point G’, barycentre de .   2.                a.  Soit J le milieu de [AB]. Exprimer  et  en fonction de  et  et en déduire l’intersection des droites (GG’) et (AB). b.     Montrer que le barycentre I de  appartient à (GG’).   3.                Soit D un point quelconque du plan. Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA]. a.     Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit le barycentre de . a)    Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC). b.     Déterminer les réels a’ et c’ tels que X soit le barycentre de .

 

 

 

Voici un exercice traitant principalement de barycentre. Les questions peuvent être traitées à l’aide de transformations de l’égalité vectorielle servant de définition au barycentre.

 

 

 

 Question 1.a.

 

La somme des coefficients du système considéré étant non nulle, le point G est parfaitement défini.

 

Par définition, on dispose de l’égalité vectorielle :

 

 

 

On peut transformer cette égalité comme suit de façon à ce que G n’apparaisse que dans un seul vecteur :

 

 

 

 

Pour construire le point G, on procède comme suit (voir la figure correspondante ci-dessous) : issu de A, on construit le vecteur .

 

 

 

 

 Question 1.b.

 

Nous procédons comme précédemment :

 

 

 

Pour construire le point G’, on peut procéder comme suit (voir figure ci-dessous) :

 

• On construit le point B’ tel que
  
   ;
• On construit alors le point G’ tel que
  
  .

 

 

 

 Question 2.a.

 

Le point J est le milieu de [AB]. On a donc .

 

On a obtenu, à la question précédente, les deux égalités vectorielles :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

 

 

Par ailleurs, en considérant à nouveau l’égalité , il vient :

 

 

 

 

 

On a donc obtenu :  et .

Soit, finalement : .

 

On en déduit que les points G, G’ et J sont alignés.

 

Comme J appartient à la droite (AB), on en tire :

 

 

 

 

 

 Question 2.b.

 

I est le barycentre de .

 

D’après les résultats obtenus précédemment, le vecteur  est un vecteur directeur de la droite (GG’).

 

D’après la définition de I, on a :

 

 

 

Par ailleurs, on a : .

 

On en déduit :

 

 

 

On déduit de la dernière égalité que le point I appartient à la droite (GG’),  et  étant colinéaires.

 

 

 

 Question 3.a.

 

Une figure permet de « fixer les idées » :

 

 

 

Nous avons introduit le point K’ symétrique de K par rapport à O.

 

Dans ces conditions, O est le milieu de [KK’] et [CD] et CKDK’ est un parallélogramme.

 

On a donc :  car K est, par construction, le milieu de [AO].

 

On en déduit alors : , soit, en d’autres termes :

 

 

 

Remarque : un cas particulier doit ici être souligné.

En effet, si D est le symétrique de C par rapport à A (c’est à dire A est le milieu de [CD]), alors .

La relation  reste cependant valable, A étant le milieu de [CD].

 

 

 Question 3.b.

 

 

 

On suppose ici que les droites (DK) et (AC) ne sont pas confondues.

 

L’égalité vectorielle obtenue à la question précédente peut se récrire comme suit :

 

 

 

Or,  et  sont deux vecteurs directeurs de la droite (DK),  et  sont deux vecteurs directeurs de la droite (AC) et ces deux droites sont sécantes non confondues.

On en déduit  et .

 

La deuxième égalité nous permet de conclure :

 

 

 

Remarque : si, dans cette question, D appartient à la droite (AC), alors les points K et O appartiennent aussi à cette droite et les droites (AC) et (DK) sont confondues. Le point X n’est pas, dans ce cas, défini.