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Pondichéry |
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Une entreprise de services d’une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années. Le rang
1. Représenter le nuage de points 2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage ; le placer dans le repère précédent ; 3. On réalise un ajustement affine de ce
nuage par la droite d’équation a) Déterminer la valeur de b ; b) Tracer la droite D dans le repère précédent. 4. Déterminer, à l’aide de l’ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005 ; 5. En réalité, un relevé récent a permis
de constater qu’en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville
était de Déterminer, en pourcentage, l’erreur commise par l’estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l’aide d’un nombre entier en effectuant un arrondi) ; 6. Un nouvel ajustement, de type exponentiel semble alors plus adapté. a) Recopier et compléter le tableau
suivant sachant que
b) Déterminer l’équation réduite de la
droite de régression de z en x obtenue par la méthode des
moindres carrés à l’aide de la calculatrice ; cette équation est de la
forme c) En déduire que : d) Estimer alors, à l’aide de ce nouvel
ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 |
Analyse
Un exercice classique sur les statistiques à deux variables et l’ajustement affine. Dans un premier temps on utilise un ajustement affine. Puis, à l’aide d’un changement de variable, on détermine un ajustement exponentiel, mieux adapté aux données disponibles.
Résolution
Les coordonnées du point moyen G sont les moyennes et
des séries des
et des
respectivement. L’effectif total étant de
,
il vient :
Et :
Finalement :
On obtient alors le graphique suivant :
Les coordonnées du point G vérifiant l’équation de la droite
D, on a : .
Soit : .
On
a et l’équation réduite de la droite D s’écrit :
.
On a représenté la droite D en rouge sur le graphique ci-après.
L’année 2005 correspond au rang .
A l’aide de l’équation précédente, on peut effectuer une extrapolation. On
obtient :
A
l’aide de l’ajustement affine obtenu, la consommation des ménages en 2005 peut être
estimée à 107 300 .
L’erreur relative commise en utilisant l’ajustement affine par rapport à la valeur exacte vaut :
A l’aide de l’ajustement affine obtenu, le pourcentage d’erreur commise par l’estimation obtenue à la question précédente par rapport à la valeur exacte est de 23%
(valeur arrondie au pourcent).
On obtient :
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1 |
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
|
|
3,35 |
3,56 |
3,95 |
4,26 |
4,61 |
4,94 |
A l’aide de la calculatrice, on obtient, en arrondissant les
coefficients à :
Comme ,
l’égalité précédente se récrit :
.
En considérant l’exponentielle de chaque membre, il vient alors :
Or, (valeur approchée à
). On en déduit finalement :
L’année 2007 correspond au rang .
On a alors, grâce à l’ajustement exponentiel obtenu à la question précédente :
(la quantité y désignant des milliers d’euros, le résultat
précédent est fourni avec une précision de correspondant aux 100
de l’énoncé).
Conclusion :
A
l’aide de l’ajustement exponentiel, la consommation des ménages de cette ville
en 2007 peut être estimée à 204 400
(à 100
près).