Antilles-Guyane  Série ES  Septembre 1998 - Exercice

1.    Le plan est rapporté à un repère orthonormal  (unité graphique : 1 mm sur les axes). Dessiner l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées x et y vérifient le système :       2.    Une entreprise fabrique des téléviseurs et des magnétoscopes. Elle utilise dans la fabrication de ces appareils deux types de composants électroniques. ·       La production d’un téléviseur nécessite 5 composants de type A et 4 de type B ; ·       La production d’un magnétoscope nécessite 10 composants de type A et 3 de type B ; ·       Pour des raisons d’approvisionnement, les consommations mensuelles ne peuvent excéder 1 500 composants de type A et 625 de type B ; ·       Par ailleurs, la situation de l’entreprise sur le marché ne lui permet pas d’écouler plus de 100 téléviseurs et 140 magnétoscopes par mois. Le bénéfice réalisé est de 200 sur un téléviseur et de 300 sur un magnétoscope.   a.    Soit x le nombre de téléviseurs que produit l’entreprise en un mois et soit y le nombre de magnétoscopes. Ecrire les inéquations exprimant les contraintes de production dans la fabrication des téléviseurs et des magnétoscopes. b.    En déduire le domaine des contraintes (utiliser le 1.) ; c.    Calculer en fonction de x et y le bénéfice réalisé en un mois par cette entreprise. Celle-ci peut-elle réaliser un bénéfice de 30 000 , de 60 000 ? On justifiera graphiquement les réponses. d.    Déterminer la quantité de téléviseurs et de magnétoscopes à produire pour que le bénéfice soit maximal. Quel est le montant de ce bénéfice ?

 

 

On a affaire ici à un exercice classique d’optimisation (maximisation du bénéfice) sous contrainte. Il se résout à l’aide d’éléments de géométrie plane simples.

 

 

 

 Question 1.

 

L’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système :

 

correspond au domaine (obtenu à l’aide du logiciel GEOPLAN) non hachuré ci-dessous, la frontière étant incluse (les inégalités sont larges). Il s’agit d’un domaine convexe dont la frontière est un hexagone non régulier.

 

 

 

 Question 2.a.

 

En un mois, l’entreprise produit x téléviseurs et y magnétoscopes. Les grandeurs x et y correspondant à des productions, on a :

 

 

Du fait de sa situation sur le marché, l’entreprise ne produit pas plus de 100 téléviseurs et pas plus de 140 magnétoscopes. On a donc :

 

 

En combinant les deux systèmes obtenus précédemment, il vient :

 

 

Exprimons maintenant les contraintes sur les composants.

 

La fabrication d’un téléviseur requiert 5 composants de type A et celle d’un magnétoscope 10.

Pour x téléviseurs et y magnétoscopes, le besoin en composants de type A s’élève donc à : . Or, l’entreprise ne peut excéder une consommation mensuelle de composants A de 1500 unités. On a donc : . Soit, en simplifiant :

 

 

La fabrication d’un téléviseur requiert 4 composants de type B et celle d’un magnétoscope 3.

Pour x téléviseurs et y magnétoscopes, le besoin en composants de type B s’élève donc à : . Or, l’entreprise ne peut excéder une consommation mensuelle de composants B de 625 unités. On a donc :

 

 

Finalement, en reprenant le premier système et les deux inéquations que nous venons d’obtenir, on conclut :

 

 

 Question 2.b.

 

Le système des contraintes obtenu à la question précédente est identique au système fourni dans la question 1. On en déduit :

 

 

 

 Question 2.c.

 

Le bénéfice réalisé sur un téléviseur est de 200, sur un magnétoscope de 300. On en tire :

 

 

L’entreprise pourra réaliser un bénéfice de 30 000 s’il existe au moins un point M du domaine des contraintes dont les coordonnées  vérifient : .

On va donc tracer la droite d’équation : . On obtient :

 

 

 

On constate, par lecture graphique, que la droite d’équation  intercepte le domaine des contraintes. Un bénéfice de 30 000 peut donc être réalisé par l’entreprise.

 

Nous adoptons la même démarche pour un bénéfice de 60 000. Cette fois, il convient de représenter la droite d’équation : . On obtient :

 

 

 

On constate cette fois que la droite d’équation  n’intercepte pas le domaine des contraintes : un bénéfice de 60 000 ne peut être réalisé par l’entreprise.

 

Finalement :

 

 

 Question 2.d.

 

Les productions permettant de réaliser un bénéfice B correspondent aux couples  tels que . Graphiquement, on obtient une droite.

Lorsque B varie, on obtient une famille de droites parallèles puisqu’elles admettent toutes comme coefficient directeur  (l’équation réduite d’une telle droite s’écrit :  ).

Pour obtenir le bénéfice maximal, on va positionner sur le graphique précédent une droite d’équation  de telle sorte que :

• Son ordonnée à l’origine soit maximale (l’ordonnée à l’origine est proportionnelle au bénéfice réalisé) ;
• Elle intercepte le domaine des contraintes.

 

On obtient la droite (en rouge) ci-dessous :

 

 

 

Cette droite admet donc une équation de la forme  et passe par le point d’intersection I des droites d’équations  et .

 

Pour déterminer les coordonnées de I, on résout donc le système :

 

 

 

On a :

 

 

Le point I admet donc comme coordonnées : .

 

Le bénéfice correspondant s’élève à .

 

Finalement :