Nouvelle-Calédonie – Série ES – Novembre 2002 – Exercice

Une personne place, le 1er janvier 2001, sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 4%, une somme de a euros. De plus chaque 1er janvier des années suivantes, c’est à dire au 1er janvier 2002, au 1er janvier 2003, etc., elle place sur ce compte la somme de 1000 euros. On pose . Plus généralement, pour tout entier naturel n, on appelle  la somme disponible sur le compte, le 1er janvier de l’année . 1. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : . b) Montrer que cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.   2. Utilisation d’une suite auxiliaire géométrique On pose . a) Vérifier que la suite  est géométrique, de raison 1,04. Préciser son premier terme en fonction de a. b) Exprimer  en fonction de a et n. c) En déduire que, pour tout entier naturel n :   3. Optimisation du placement sur une durée de quatre ans Calculer à 0,01 euro près le placement initial minimal a permettant de disposer sur ce compte, le 1er janvier 2005, d’une somme d’au moins 15000 euros.

 

 

On a affaire ici à une exercice classique sur les suites arithmético-géométriques ne présentant pas de difficulté particulière. L’utilisation d’une suite auxiliaire géométrique permet de fournir explicitement le terme général de la suite initiale.

 

 

 

à Question 1.a.

 

Pour n entier naturel,  est la somme disponible sur le compte le 1^er janvier de l’année . Cette somme est rémunérée au taux annuel de 4%. Elle va donc générer des intérêts d’un montant de : .

En outre, au 1^er janvier de l’année suivante , la personne verse sur le compte une somme de 1000 euros.

Le capital au 1^er janvier de l’année  va donc s’élever à : , c’est à dire : .

On a bien :

 

Pour tout entier naturel n, on a la relation de récurrence : .

 

 

à Question 1.b.

 

Pour , on a : .

Il vient donc, en utilisant la relation précédente :

 

On a donc :

 

A étant un nombre strictement positif, on a : , c’est à dire : .

Ces deux différences n’étant pas égales, on peut conclure que la suite  n’est pas arithmétique.

 

On a, par ailleurs : . Donc : .

On a également : .

Comme , on a : , d’où : .

Ces deux rapports n’étant pas égaux, on en déduit que la suite  n’est pas géométrique.

 

 

à Question 2.a.

 

Pour tout entier naturel n, on a : .

 

On peut donc écrire, pour tout entier naturel n :

 

 

Ce résultat traduit le fait que la suite  est une suite géométrique de raison 1,04.

 

La suite  est une suite géométrique de raison 1,04.

 

Pour , on a : .

 

Le premier terme de la suite  est .

 

 

à Question 2.b.

 

D’après la question précédente, on a, pour tout entier naturel n : .

 

Pour tout entier naturel n : .

 

 

à Question 2.c.

 

A partir de l’expression de  obtenue à la question précédente et de l’égalité , il vient :

 

Finalement :

 

Pour tout entier naturel n : .

 

 

à Question 3.

 

Comme , on a ici : .

D’après l’énoncé, on souhaite que la somme  soit au moins égale à 15000 euros.

On va donc résoudre l’inéquation : , c’est à dire :

 

Cette égalité est équivalente à : , soit : .

Finalement : .

La valeur arrondie à 0,01 euro près par excès de  est 9192,17.

Conclusion :