On considère les matrices  et   1)   Déterminer la matrice  puis calculer les matrices  et  ; 2)   En déduire la matrice  pour tout entier n,  ; 3)   La formule du binôme, appliquée au développement de , permet d’écrire pour tout entier n,  :     a)      Vérifier que, pour ,  ; b)      Montrer, à l’aide des résultats du 1) :   , pour tout entier n,   4)   Application : on considère le graphe G de sommets X, Y et Z, pris dans cet ordre et dont la matrice d’adjacence est la matrice A.   a)      Donner une représentation géométrique du G. b)      Déterminer, à l’aide des questions précédentes, le nombre de chemins de longueur 5 du sommet Y au sommet Z.

 

 

Les trois premières questions requièrent essentiellement de savoir effectuer la multiplication de deux matrices carrées.

Dans la dernière question, il convient de maîtriser le lien existant entre les chemins de longueur n d’une graphe orienté donné et la puissance nième de la matrice d’adjacence de ce graphe.

 

 

 

Question 1

 

La matrice  s’obtient aisément :

 

 

 

On a alors, en posant les produits classiquement :

 

         puis     

 

 

Question 2

 

Puisque B³ est la matrice nulle, toute puissance de la matrice B supérieure ou égale à 3 sera également nulle.

En effet, pour tout entier n supérieur ou égal à 3, on peut écrire :

 

 

Conclusion :

 

Toute puissance supérieure ou égale à trois de la matrice B est égale à la matrice nulle.

 

 

Question 3

 

Question 3.a.

 

Dans la formule du binôme, nous ne conservons, d’après la question précédente, que les termes comportant une puissance de la matrice B inférieure strictement à 3. On a donc :

 

Pour ,

 

Question 3.b.

 

On a, pour  :  et .

L’égalité obtenue à la question précédente se récrit donc :

 

 

En utilisant les expressions des matrices B et B², il vient alors :

 

 

Finalement :

 

Pour ,

 

 

Question 4

 

Question 4.a.

 

A partir de la matrice d’adjacence A, on obtient la représentation géométrique suivante :

 

 

X

Y

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Question 4.b.

 

Pour pouvoir répondre à la question, on a besoin de la matrice A⁵.

Grâce au résultat de la question 3.b, on a :

 

 

Les éléments de la deuxième ligne fournissent les chemins de longueur 5 issus du sommet Y.

En particulier, le troisième élément de cette ligne fournit le nombre total de chemins de longueur 5 issus du sommet Y et aboutissant au sommet Z.

 

Finalement :

 

Il y a au total 15 chemins de longueur 5 du sommet Y au sommet Z.