Soit  la fonction définie par  pour tout . 1.    Montrer que f est une bijection. 2.    Soit  la bijection réciproque de f. a.     Montrer que la fonction g est dérivable. b.     Calculer  et .

(Université Paris 7 – Denis DIDEROT / 1999-2000 / Examen septembre 2000)

 

 

 

Les questions font essentiellement appel à des résultats classiques d’analyse relatifs aux fonctions réelles de la variable réelle. Pour ce qui est de la dernière question, on se garde de chercher à exprimer explicitement  …

 

 

 

1^ère question

 

La fonction f est une fonction polynôme. A ce titre, elle est définie, continue et dérivable sur son ensemble de définition .

 

Sa dérivée se détermine aisément. On a : .

Or : . Donc : .

 

On en tire que la fonction f est strictement croissante sur . Comme, de surcroît, elle y est continue, on en déduit (voir cours sur les fonctions réelles de la variable réelle) que c’est une bijection de  dans .

 

Enfin, on a  et .

On a donc : .

 

En conclusion :

 

f est une bijection de  dans

 

2^ème question

 

Cette question est en fait une question de cours.

 

Puisque l’on a , la réciproque g de f est dérivable sur  et l’on a :

 

 

Nous redémontrons ce résultat :

 

Soit  un réel quelconque donné. Considérons le rapport :  dont on cherche s’il admet une limite finie lorsque l’on fait tendre x vers , x étant différent de .

 

Puisque g est bijective, il existe  et y réels distincts tels que :  et .

 

On a alors : .

 

Ces écritures sont licites puisque l’on a, f étant bijective : .

 

Comme  et g continue, on a : .

 

Il vient alors :

 

 

La fonction f étant supposée dérivable sur  et de dérivée non nulle (c’est le cas de la fonction f considérée dans cet exercice), on a :

 

 

Le résultat est démontré.

 

 

Déterminons maintenant .

 

On a : . Cette équation admet la solution évidente : .

C’est la seule puisque f est bijective sur .

 

D’où :

Pour le calcul de , nous utilisons le résultat : .

 

Pour , on a : .

 

D’où : .