Le sous-groupe H permet de définir, classiquement, une relation d’équivalence fondamentale sur G : .

 

L’élément clé de la démonstration est alors le suivant : toutes les classes d’équivalence associées à la relation  ont le même cardinal qui n’est rien d’autre que l’ordre de H.

 

Pour établir l’égalité des cardinaux, on va considérer une classe d’équivalence quelconque  et l’application  suivante :

 

 

Montrons que  est bijective.

 

Soit  et  deux éléments de . On a :

 

 

L’application  est donc injective.

 

Soit maintenant z un élément quelconque de H, existe-t-il un élément y de  tel que  ?

 

On a :

 

 

L’application  est donc surjective.

 

Remarque : le dernier résultat seul nous permet en fait d’affirmer directement que l’application  est bijective puisque nous avons établi l’existence et l’unicité de l’élément y, le raisonnement ayant été mené par équivalence.

 

L’application  étant bijective, on en conclut que les ensembles finis  et H ont même cardinal, l’ordre de H (nous le notons  ).

 

Supposons qu’il y ait m classes d’équivalences associées à . Puisqu’elles forment une partition de G, on a :

 

 

L’ordre de G est bien un multiple de celui de H.