Le plus petit sous-groupe contenant une partie d’un groupe (i.e. le sous-groupe engendré par cette partie) est l’intersection de tous les sous-groupes contenant cette partie.
Démonstration
Soit G un groupe
et A une partie de G. Notons le sous-groupe engendré par A.
L’intersection,
,
de tous les sous-groupes de G contenant A est un sous-groupe de G contenant A.
étant le plus petit d’entre eux, on a
immédiatement :
est un sous-groupe de G contenant A. Dans
l’écriture
,
il s’agit donc de l’un des sous-groupes H et on en tire immédiatement :
La double inclusion nous permet de conclure :