On considère la loi hypergéométrique où N désigne le nombre total de boules de l’urne, n le nombre de boules tirées (sans remise) et p la proportion de boules de l’urne nous intéressant.

Lorsque N tend vers , converge en loi vers la loi binomiale .

Préambule

L’expérience type considérée ici est le tirage sans remise de n boules dans une urne en comportant N au total. Ces N boules se répartissent en deux catégories : boules « SUCCES » et boules « ECHEC ». Le réel p désigne donc la proportion de boules « SUCCES » dans l’urne. On s’intéresse à X, nombre de boules « SUCCES » obtenues.

Rappelons que X prend ses valeurs dans : et que pour tout entier k compris entre et , on a :

Montrer que : équivaut donc à montrer :

C’est l’objectif de la démonstration.

Démonstration

On a :

Avec : .

A partir de là, nous pouvons procéder de diverses façons. Ici, nous allons utiliser la formule de Stirling donnant un équivalent de en :

Pour alléger un peu les écritures, nous utiliserons la deuxième expression.

On a donc :

Il vient alors, en tenant compte de :

On a immédiatement :

Il vient alors :

D’où :

On a ensuite :

On a immédiatement : puis et, de façon analogue : , d’où : .

On a aussi : et, de fait : .

Par ailleurs, on a le résultat général : , on en tire alors :

· ;

On en déduit :

On a donc :

Et, finalement :

On retrouve ainsi l’expression d’obtenir k « SUCCES » pour une variable aléatoire suivant la loi binomiale .

Le résultat est ainsi établi.