Nous pouvons procéder à une intégration par parties. L’objectif, avec cette approche est de faire apparaître la dérivée de  qui nous est (au moins un peu !) familière. Mais on peut également mener le calcul en effectuant le changement de variable :  qui fournit simplement : .

 

Dans ce qui suit, nous adoptons la première approche.

 

 

 

Nous effectuons donc une intégrations par parties en posant :  et .

On a alors :  et :

 

 

A ce stade, plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour déterminer : . Nous en proposons deux.

 

 

1^ère méthode : changement de variable

 

Comme : , le calcul de  peut être mené en effectuant le changement de variable : . On a alors :

 

 

Le calcul de  peut être mené de diverses façons (on peut même faire appel au cours qui comporte peut-être un paragraphe sur le calcul des primitives des fonctions de la forme  ou  où P est un polynôme !). Nous nous proposons ici de mener une autre intégration par parties en posant :  et . On a alors :

 

 

C désignant une constante réelle quelconque.

 

Finalement, on a :

 

 

où K est une constante réelle quelconque.

 

 

2^ème méthode : intégration par parties

 

Prenons garde ici de ne pas mener une intégration par parties inverse de celle qui a été menée au départ !

 

On pose en fait :  et .

On a alors  et :

 

 

Finalement, on retrouve :

 

 

où K est une constante réelle quelconque.