La fonction  n’est pas définie pour x tel que , c’est à dire pour

 

L’ensemble de définition de la fonction f est donc :

 

Sur chacun des intervalles  la fonction f est continue comme inverse d’une fonction continue. Nous allons donc nous placer sur l’un de ces intervalles et y chercher les primitives de f.

 

 

 

Nous proposons ci-dessous deux méthodes de résolution correspondant chacune à un changement de variable.

 

1^ère méthode

 

On remarque que la forme différentielle sous le signe somme est invariante suivant la transformation : . En effet, on a :  et . On peut alors (voir le cours) effectuer le changement de variable :  qui donne .

 

On peut alors écrire, pour faire apparaître t et dt :

 

 

On s’est ainsi ramené au calcul des primitives d’une fraction rationnelle simple.

 

La décomposition en éléments simples s’écrit :

 

Il vient alors :

 

Soit :

 

Où K est une constante réelle quelconque.

 

On peut simplifier ce résultat en utilisant l’égalité :

 

On a alors :

 

D’où, finalement :

 

 

 

2^ème méthode

 

Ici, on utilise le fait que f est une fraction rationnelle du type . On peut donc utiliser la méthode générale consistant à effectuer le changement de variable :  qui donne :  soit :

 

Il convient donc d’exprimer  en fonction de la nouvelle variable t. Nous reprenons ici ce qui a été fait dans le cours :

 

D’où :

 

Note : sur l’intervalle sur lequel nous nous sommes placé on a : .

 

On peut donc écrire :

 

 

Où K est une constante réelle quelconque.

 

On retrouve le résultat obtenu plus haut à l’aide de la première méthode.