La fraction rationnelle F comporte un numérateur dont le degré est strictement supérieur à celui du dénominateur. On devra donc commencer par effectuer une division polynomiale.

 

Pour ce qui est du dénominateur, on devra le factoriser.

 

 

 

On commence donc par la division polynomiale du numérateur par le dénominateur :

 

 

La fraction rationnelle se récrit donc :

 

 

On doit maintenant décomposer en éléments simples la fraction : .

 

On factorise le dénominateur en notant que  est « proche » de  :

 

 

On a donc :

 

Les polynômes  et  n’admettant pas de racine réelle, la fraction rationnelle S n’admet pas de pôles réels et sa décomposition en éléments simples est de la forme :

 

 

Cette expression peut être simplifiée si l’on remarque que S est une fonction paire (elle ne comporte que des monômes de degré pair). On a donc :

 

 

On a donc : . Il nous suffit donc de déterminer A et B.

 

On a : . D’où :  et .

 

En réduisant au même dénominateur et en identifiant avec la forme initiale de S, on obtient facilement :

 

On a donc :

 

 

Pour intégrer cette somme de deux fractions rationnelles, nous allons d’abord remarquer que chacune d’elles est intégrable comme fonction définie et continue sur  (ce qui nous permet de mener les calculs séparément) puis mener un seul calcul en posant :

 

 

où  prendra les valeurs –1 et 1 pour que nous puissions obtenir les primitives souhaitées.

 

On aura alors :

 

 (E)

 

On a, en faisant d’abord apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur :

 

 

On peut supprimer la valeur absolue puisque le polynôme argument du logarithme népérien est strictement positif pour toute valeur de x.

 

On a donc :

 

et

 

 et  étant des constantes réelles quelconques.

 

Il vient finalement :

 

 

La combinaison linéaire des deux constantes  et  a été remplacée par la constante réelle quelconque K.