Calculer :
La présence du monôme au dénominateur nous conduit à travailler sur l’un des deux intervalles et dont la réunion est égale à l’ensemble de définition de la fonction . Elle y est continue et donc intégrable.
Plusieurs approches sont possibles pour effectuer le calcul. Elles visent à harmoniser la fonction sous le signe somme ou à diminuer la puissance du monôme au dénominateur.
Cette méthode vise à éliminer la fonction arctan du numérateur.
On va effectuer une intégration par parties en posant : , qui fournit , et dont une primitive est .
On a alors :
On est ainsi ramené au calcul des primitives de la fraction rationnelle .
On commence, classiquement, par en effectuer la décomposition en éléments simples sur . Elle est de la forme :
On peut simplifier cette expression en notant que F est une fonction paire puisqu’elle ne comporte que des monômes de degré pair.
On a donc, en notant l’ensemble de définition de F :
D’où :
Considérons .
On a, d’une part : et donc .
Mais on a également : et donc .
D’où :
De façon analogue, on obtient : .
Finalement : .
On peut alors procéder au calcul des primitives de F :
où C est une constante réelle quelconque.
On a finalement :
Cette deuxième méthode vise à se « débarrasser »
du dénominateur de
Il vient alors :
Cette nouvelle forme peut sembler plus complexe que la première mais il convient de la simplifier en utilisant : ( si et si ).
On a alors :
Le premier calcul est « classique ». Nous le rappelons néanmoins.
On effectue une intégration par parties avec qui donne et dont une primitive est (nous avons considéré, pour une fois ( !), une constante d’intégration non nulle au regard de la forme de ).
On a alors :
Donc :
où K est une constante réelle quelconque.
Puis, en rétablissant la variable :
où C est une constante réelle quelconque (lorsque K décrit , décrit également ).
On a retrouvé le résultat obtenu avec la première méthode.
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Où C est une constante réelle quelconque |
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