Comme on a , la fonction  est définie sur . De surcroît, elle y est continue comme puissance d’une fonction continue. Elle est donc intégrable sur .

 

Diverses méthodes sont possibles pour mener le calcul et nous en proposons ici deux.

 

 

 

1^ère méthode : changement de variable

 

Cette méthode vise à illustrer l’application d’une « règle donnant une changement de variable ».

 

On constate en effet que la forme différentielle  change de signe lorsque l’on considère  : . Dans ce cas, on sait pouvoir effectuer le changement de variable :  qui donne : . D’où : .

 

Par ailleurs : .

 

D’où :

 

 

On est ainsi ramené au calcul des primitives d’une fraction rationnelle.

 

Afin d’abaisser la puissance du dénominateur, nous allons procéder à une intégration par parties.

 

A partir de , nous posons :  qui donne  et  dont une primitive est : .

 

Il vient alors :

 

 

Pour pouvoir intégrer cette dernière fraction rationnelle, nous commençons par la décomposer en éléments simples :

 

En tenant compte de sa parité, on obtient facilement :

 

 

L’intégration s’écrit alors :

 

 

D’où :

 

 

On revient enfin à la variable initiale en utilisant  :

 

 

Nous avons donc finalement :

 

 

 

2^ème méthode

 

C’est la méthode élémentaire consistant à ramener une fraction rationnelle  à une fraction rationnelle  en effectuant le changement de variable  qui donne , soit .

 

Le développement de  s’écrit :

 

 

On a alors :

 

 

On peut mener le calcul en effectuant une intégration par parties avec :  qui donne  et  dont une primitive est : .

 

On a alors :

 

 

 a été calculé comme étape intermédiaire de la méthode précédente et nous en reprenons le résultat :

 

 

On a donc :

 

 

En revenant à la variable initiale, on obtient :

 

 

Ce résultat semble différent de celui obtenu avec la méthode précédente. Pourtant, on peut le retrouver en effectuant quelques manipulations :

 

On a la formule classique de trigonométrie : . En l’utilisant avec  et , on obtient :

 

 (1)

 

Or, les exponentielles étant positives, on a également :

 

 (2)

 

En combinant (1) et (2) et en notant que  (arctan est une fonction impaire), on obtient finalement :

 

 

Soit finalement : .

En d’autres termes, à un facteur multiplicatif et un facteur additif près, les deux expressions  et  sont égales …