La fonction  n’est pas définie pour x tel que , c’est à dire pour .

 

L’ensemble de définition de la fonction f est donc :

 

 

Sur chacun des intervalles  la fonction f est continue comme inverse d’une fonction continue. Nous allons donc nous placer sur l’un de ces intervalles et y chercher les primitives de f.

 

Nous proposons ci-dessous deux méthodes de résolution correspondant chacune à un changement de variable.

 

 

 

 

1^ère méthode

 

On remarque que la forme différentielle sous le signe change de signe avec la transformation : . En effet, on a :  et . On peut alors (voir le cours) effectuer le changement de variable :  qui donne .

 

On écrit alors, pour faire apparaître t et dt :

 

 

On s’est ainsi ramené au calcul des primitives d’une fraction rationnelle simple.

 

La décomposition en éléments simples s’écrit :

Il vient alors :

 

Soit :  (1)

 

Où K est une constante réelle quelconque.

 

On peut simplifier ce résultat en remplaçant les « 1 » apparaissant dans l’argument du logarithme népérien par  et en utilisant les règles de transformation des sommes de fonctions trigonométriques en produits (à titre d’exercice, on pourra rechercher une autre méthode de simplification de cette expression à partir de l’égalité :  ) :

 

On a alors :

 

On utilise alors les égalités suivantes :

 

On en déduit :

 

L’égalité (1) se récrit finalement :

 

 

2^ème méthode

 

Ici, on utilise le fait que f est une fraction rationnelle du type . On peut donc utiliser la méthode générale consistant à effectuer le changement de variable :  qui donne :  soit : .

Il convient donc d’exprimer  en fonction de la nouvelle variable t. Nous reprenons ici ce qui a été fait dans le cours :

 

D’où :

 

Note : sur l’intervalle sur lequel nous nous sommes placés on a : .

 

On peut donc écrire :

 

 

Cette expression peut être simplifiée en remplaçant les « 1 » apparaissant dans l’argument du logarithme népérien par  et en utilisant la formules de transformation d’une somme de tangentes :

 

 

Mais on a :

 

D’où, finalement :

 

 

Soit :

 

 

Où K est une constante réelle quelconque.

 

On a retrouvé le résultat obtenu plus haut à l’aide de la première méthode.