La fonction  est définie et continue sur , elle est donc intégrable sur cet intervalle.

 

Nous pouvons procéder à une intégration par parties. L’objectif, avec cette approche, est de faire apparaître la dérivée de  qui nous est (au moins un peu !) familière. Mais on peut également mener le calcul en effectuant le changement de variable :  qui fournit simplement : .

 

Dans ce qui suit, nous développons les deux approches.

 

 

 

1^ère méthode : intégration par parties

 

Nous effectuons une intégrations par parties en posant :  et .

On a alors :  et :

 

 

où K est une constante réelle quelconque.

 

Deuxième méthode : changement de variable

 

Nous introduisons ici la nouvelle variable t définie par : . On a alors :  et .

 

Le calcul se récrit donc : .

 

La fonction sous le signe somme, , est le produit d’une fonction simple et d’une dérivée, on va donc mener une intégration par parties en posant  qui donne  et  qui est la dérivée de la fonction tangente.

 

Il vient alors :

 

Pour revenir à la variable initiale, on doit garder présent à l’esprit que la variable t, comme valeur prise par la fonction  appartient à l’intervalle  (voir le cours). De fait, le cosinus correspondant est positif. En partant alors de l’égalité : , on a :

 

 

(1) se récrit alors :

 

 

On retrouve le résultat obtenu avec la méthode précédente.