Les deux calculs sont « classiques ». Nous commençons par le premier qui requiert, dans un premier temps, de mettre le polynôme , sous forme canonique afin d’effectuer un changement de variable approprié permettant de conclure.

 

Le second calcul fait appel au résultat du premier.

 

 

 

On a :

 

Comme somme de deux carrés, dont un strictement positif, P est un polynôme défini et strictement positif sur . L’intervalle d’intégrabilité de la fonction  est donc  puisqu’elle y est définie et continue.

 

D’après ce qui précède, on peut effectuer le changement de variable :  qui donne : .

 

Il vient alors :

 

 

On s’est ainsi ramené à un calcul de primitives « classique ».

 

On a :

 

 

En revenant à la variable initiale, on obtient finalement :

 

 

où C désigne une constante réelle quelconque.

 

Le premier résultat est donc :

 

 

 

Soit à calculer désormais : .

 

Classiquement (voir le cours), on se ramène à des fractions de la forme  où n est un entier. Pour cela, nous écrivons, la racine ne pouvant s’annuler :

 

 

Le dernier terme vient d’être calculé (voir I ci-dessus). Pour ce qui est du second, nous faisons apparaître au numérateur la dérivée du polynôme se trouvant sous la racine :

 

, est de la forme . On l’intègre alors comme suit :

 

.

 

Note : nous ferons apparaître la constante d’intégration une bonne fois pour toutes à la fin du calcul.

 

On a donc le résultat intermédiaire suivant :

 

 

Il nous reste donc à calculer . Ici encore, nous allons faire apparaître au numérateur la dérivée du polynôme P :

 

 

Il nous reste donc à calculer : .

 

Nous pouvons mener une intégration par parties en posant :  qui donne  et  qui est la dérivée de .

 

L’intégration par parties s’écrit alors :

 

 

Finalement :

A partir des résultats précédents, on peut finalement écrire :

 

 

Il vient dont, en utilisant :  :

 

 

Soit, finalement :