On a : . La fonction sous le signe somme est donc définie sur . Elle y est continue et donc intégrable.

 

A première vue, c’est l’exponentielle sous le radical qui semble poser problème … On peut donc, dans un premier temps essayer de s’en affranchir en effectuant le changement de variable . Mais on peut également aller plus loin dans cette approche en effectuant un changement de variable plus … radical ! Les deux « approches » sont développées ci-dessous.

 

Nous proposons également une troisième approche consistant à faire apparaître sous le radical le carré d’une fonction connue. La fonction exponentielle étant à valeur strictement positives sur , nous pouvons la « remplacer » par une fonction  prenant elle-même des valeurs strictement positives sur  et telle que  soit un carré pour toute valeur de x …

 

 

 

1^ère approche : changement de variable

 

On pose donc :  qui donne . Soit : .

 

Il vient alors : .

 

Nous nous sommes « débarrassés » de l’exponentielle mais le radical subsiste … Nous pouvons alors effectuer un deuxième changement de variable en posant : . On a alors : , soit .

 

D’où : .

 

On est ainsi ramené au calcul des primitives d’une fraction rationnelle simple.

 

 

 

L’intégration de la fraction rationnelle irréductible se fait en utilisant sa décomposition en éléments simples :

 

 

On a alors :

 

 

Note : nous faisons apparaître la constante d’intégration ci-après.

 

Il vient alors :

 

 

où C est une constante réelle quelconque.

 

En revenant à la variable u grâce à la relation , on obtient :

 

 

On remplace finalement la variable u par  et il vient :

 

 

 

2^ème approche : un autre changement de variable !

 

Cette deuxième approche consiste simplement à effectuer d’entrée de jeu le changement de variable :  de façon à s’affranchir en une seule étape de la présence de l’exponentielle et du radical.

On a alors : , soit, en utilisant , .

 

 

Il vient alors :

 

 

On constate que l’on retrouve le calcul intermédiaire obtenu précédemment.

 

 

3^ème approche : faire apparaître un carré sous le radical

 

On fait apparaître un carré sous le radical en posant  puisqu’on aura alors : .

Le changement de variable correspondant à cette « transformation » est défini comme suit :

 

 

Dans ces conditions, on a :  et donc : . Par ailleurs, en différenciant l’égalité , on obtient :  qui donne : .

 

On a alors :

 

 

La première intégrale est élémentaire : .

 

Note : nous ferons apparaître la constante d’intégration à l’issue du calcul complet.

 

Pour ce qui est de la seconde intégrale, on pourra reprendre le calcul à titre d’exercice. Le résultat se trouve dans le formulaire «  Primitives usuelles » et nous le reprenons directement :

 

 

Pour transformer la tangente, nous utilisons la relation : .

 

On a alors :  et .

 

Finalement :

 

 

où C est une constante réelle quelconque.

 

Or, on a vu que : . Il vient donc :

 

 

On retrouve le résultat obtenu avec les approches précédentes.