Le radical comme argument de  la fonction arcsin impose une contrainte sur x. On doit en effet avoir , c’est à dire . D’où . Sur cet intervalle, qui est l’image de lui-même par la fonction racine carrée, la fonction arcsin est continue et dérivable. Elle y est donc intégrable.

 

Dans l’approche proposée, nous « supprimons » d’abord le radical en effectuant un changement de variable.

 

 

 

Nous commençons donc par effectuer le changement de variable :  qui donne : , soit : .

 

On a alors : .

 

Nous allons cette fois « nous débarrasser » de la fonction arcsin en menant une intégration par parties avec : , qui donne , et  dont une primitive intéressante est ici : . Cette primitive est choisie d’après la forme de .

 

On a alors :

 

 

Le calcul de  est « classique » mais nous le rappelons brièvement ci-après.

 

On effectue le changement de variable :  qui donne : . On a alors :

 

 

Le calcul est aisé après avoir linéarisé  comme suit : .

 

On a :

 

 

Il vient alors :

 

 

En revenant à la variable initiale x, on obtient finalement :