Déterminez les primitives de :
Nous avons affaire au calcul des primitives d’une fraction rationnelle.
Celle-ci admet un seul pôle réel d’ordre de multiplicité égal à 1 puisque le dénominateur se factorise comme suit :
On note que le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. Il convient donc dans un premier temps d’effectuer la division polynomiale.
La division s’écrit simplement :
On a donc :
La fraction rationnelle et le polynôme sont définis et continus sur donc intégrables sur chacun des intervalles et .
On a donc :
Pour calculer , nous allons commencer par décomposer en éléments simples sur la fraction rationnelle .
On a formellement :
On peut alors écrire :
Il vient alors : .
On a adonc : .
Diverses approches permettent de déterminer B et C. Nous réduisons ici au même dénominateur et procédons à une identification :
On a donc, finalement :
On a alors :
où K est une constante réelle quelconque.
On a donc, finalement :
où K est une constante réelle quelconque.
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où K est une constante réelle quelconque. |
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Ces solutions sont définies sur les intervalles et . |
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