C’est un cas classique où la fonction f sous le signe somme est un radical d’une fonction polynôme.

 

Après avoir déterminé l’ensemble de définition  de f, on écrit la fonction polynôme, argument du radical, sous sa forme canonique et on en tire le changement de variable approprié.

 

 

 

Soit donc la fonction f définie par .

 

On a : . Or, .

 

On a donc : .

 

Finalement :

 

 

Sur cet intervalle, la fonction f est continue et donc intégrable.

C’est l’intervalle d’intégrabilité.

 

 

Mettons maintenant la fonction polynôme  sous forme canonique :

 

 

. On peut donc effectuer le changement de variable bijectif suivant :

 

On a alors :

 

 

La dernière égalité résulte du fait que .

 

Par ailleurs :

 

 

Il vient alors :

 

 

On est ainsi ramené à un calcul classique : celui des primitives d’une puissance de la fonction cosinus. Pour linéariser cette puissance, on utilise ici l’égalité : .

 

On a alors :

 

 

Pour pouvoir facilement revenir à la variable initiale, nous écrivons :

 

 

Par ailleurs, comme , la fonction réciproque  s’écrit :

 

 

Il vient alors, finalement :

 

 

où C est une constante réelle quelconque.