L’exponentielle prenant des valeurs strictement positives, la fonction sous le signe somme est définie sur .

 

On peut dans un premier temps se « débarrasser » de l’exponentielle par un changement de variable simple.

 

 

 

Soit donc la fonction f définie par : .

 

Etant définie et continue sur , elle y est intégrable. L’intervalle d’intégrabilité est donc .

 

Dans un premier temps, nous effectuons le changement de variable  qui s’écrit :

 

 

On a alors :  et l’intégrale se récrit :

 

 

La forme du radical au dénominateur nous conduit à effectuer un deuxième changement de variable :  qui s’écrit :

 

 

On a alors :  et .

 

 

L’intégrale se récrit alors :

 

 

On a (voir formulaire) : .

 

Pour revenir aux variables précédentes, on peut, par exemple écrire :

 

 

On en tire alors : .

 

Le résultat obtenu précédemment se récrit alors comme suit :

 

 

En tenant compte de , on obtient :

 

 

Et finalement, en revenant à la variable initiale en utilisant  :