La fonctions sous le signe somme a l’air complexe …

 

On a tout intérêt, après avoir défini les intervalles d’intégrabilité, à étudier la dérivée de la fonction g définie par : .

 

 

 

Soit f la fonction définie par :

 

Le dénominateur de f s’annule pour  uniquement puisque l’on a l’équivalence : .

 

On a donc : . Sur chacun des deux intervalles  et , f est continue et donc intégrable. Ce sont donc les intervalles d’intégrabilité.

 

On travaille donc, à partir de maintenant, sur l’un quelconque de ces deux intervalles.

 

Comme suggéré, calculons d’abord la dérivée de la fonction . Il s’agit de la composée de deux fonctions connues et on a :

 

 

L’intégrale peut se récrire :

 

 

 

 

On identifie ainsi sous le signe somme, à un facteur multiplicatif près, la dérivée de la fonction  puisque l’on a :

 

 

Il vient donc :

 

 

Soit, finalement :