Le logarithme népérien étant défini sur  et le cosinus sur , la fonction sous le signe somme est définie sur .

 

On a intérêt à se « débarrasser » du logarithme népérien en effectuant un changement de variable adapté.

 

 

 

Soit f la fonction définie par .

 

On a vu que cette fonction était définie sur . Elle y est continue comme composée de fonctions continues (le logarithme népérien est une fonction continue sur  et prend ses valeurs dans . Le sinus est continu sur cet ensemble) et donc intégrable.

 

L’intervalle d’intégrabilité est donc : .

 

Comme suggéré, nous allons effectuer un changement de variable permettant de simplifier l’argument du sinus. On va donc poser : . Ce changement de variable s’écrit donc :

 

 

Dans ces conditions, on a : .

 

L’intégrale se récrit alors :

 

 

On est ainsi ramené à un cas de figure classique et on a (voir cours) :

 

 

où K est une constante réelle quelconque (constante d’intégration) et A et B sont deux facteurs à déterminer.

On peut, par exemple, déterminer A et B par identification.

 

On a :

 

 

Il vient alors, en identifiant :

 

 

D’où :

 

 

On revient alors à la variable initiale :