Soit f la fonction définie par :
a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f ;
b. Déterminer le signe de la fonction f sur ;
c. Déterminer les réels u et v tels que pour tout x de on ait :
d. Déterminer les primitives de la fonction f sur ;
e. Déterminer la primitive G de la fonction f sur qui vérifie la condition : .
L’objectif de cet exercice est fondamentalement la détermination d’une primitive d’une fonction rationnelle. Ainsi, la question c. s’avère-t-elle être une question essentielle. Les autres questions sont plus classiques.
La fonction f est une fonction rationnelle. Il convient donc de déterminer les éventuelles valeurs de x qui annulent son dénominateur.
On doit résoudre : .
Cette équation équivaut à : . La seule solution est donc : .
Finalement :
Le dénominateur de la fonction f est positif en tant que carré.
Le signe de la fonction f est donc celui de son numérateur.
Pour tout x réel, on a : .
On en déduit alors immédiatement le tableau de signe suivant :
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x |
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0 |
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2 |
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4 |
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- |
0 |
+ |
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+ |
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+ |
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+ |
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+ |
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+ |
0 |
- |
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- |
0 |
+ |
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+ |
0 |
- |
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||
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- |
0 |
+ |
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+ |
0 |
- |
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Finalement on a :
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pour ; pour ou ; pour . |
On peut procéder de diverses manières.
1ère approche : on fait apparaître au numérateur.
Pour tout x de :
Cette approche requiert de bien maîtriser la mise sous forme canonique d’une fonction polynôme du second degré.
2ème approche : identification.
Pour tout x de :
On souhaite que cette dernière expression soit égale, pour tout x de à : .
Par identification des coefficients des polynômes des numérateurs, il vient :
Les deux premières équations fournissent et la troisième donne alors .
Finalement :
Pour tout x de , on a : .
Les réels u et v cherchés sont respectivement égaux à et 8.
L’expression de f obtenue à la question précédente va nous permettre d’en déterminer les primitives sur , comme intervalle inclus dans .
On en déduit que la fonction admet donc comme primitive sur .
On en déduit que la fonction : est une primitive de la fonction f sur .
Finalement :
Les primitives de la fonction f sur l’intervalle sont les fonctions de la forme :
Où k est une constante réelle quelconque.
On cherche la primitive G de la fonction f sur qui vérifie .
Les primitives de la fonction f sur l’intervalle sont de la même forme que celles que nous avons déterminées à la question précédente sur l’intervalle .
On peut donc écrire de la forme : .
La condition équivaut alors à : .
Il vient alors : .
D’où : .
Finalement :
La primitive G de la fonction f sur l’intervalle qui vérifie la condition est définie par :
pour tout x de , .