On peut adopter deux approches : intégrer par parties ou effectuer un changement de variable.

 

 

 

1^ère approche : intégration par parties

 

On pose :  qui donne  et  dont une primitive est la fonction v définie par : .

 

On a alors :

 

 

 

Il convient désormais de calculer : .

 

On effectue le changement de variable : . On a alors :  et donc : .

 

D’où : .

 

En tenant compte du fait que t est strictement positive, il vient alors :

 

 

 

Où k est une constante réelle quelconque.

 

Alors :

 

 

 

Où C est une constante réelle quelconque.

 

 

2^ème approche : changement de variable

 

On pose directement : . Comme , il en va de même pour t.

 

Alors :  et : . D’où :

 

 

 

Cherchons alors une primitive de  puis une primitive de .

 

La première primitive cherchée est de la forme : . Or, la dérivée de cette fonction s’écrit : . Par identification, on obtient alors le système :

 

 

 

D’où :  et . La fonction  est une primitive de  sur .

 

En procédant de façon analogue, on trouve que la fonction  est une primitive de  sur .

 

Finalement :

 

 

 

Où C est une constante réelle quelconque.

 

On a ainsi retrouvé le résultat obtenu précédemment.

 

En toute rigueur, la dérivabilité des fonctions obtenues est valable sur  mais la dérivée de ces fonctions est prolongeable par continuité en 0. Ainsi, on pourra dire que les fonctions obtenues sont des primitives de la fonction  sur , la dérivabilité en 0 s’entendant à droite.