On considère la fonction f
définie sur par :
1. Déterminer trois réels a, b
et c tels que pour tout réel x de on ait :
2. Déduire de la
question précédente les primitives de f sur l’intervalle .
Analyse
La première question permet de transformer la fonction f
en effectuant une « décomposition en éléments simples » à savoir les
fonctions ,
et
.
Ces trois fonctions sont aisées à intégrer sur l’intervalle considéré.
Résolution
1. On a, pour tout réel x réel différent de 3 :
Il vient alors :
Soit, par identification :
On obtient facilement :
Finalement :
2. Dans cette question, nous travaillons sur l’intervalle .
D’après la question précédente, nous avons :
On peut alors déterminer les
primitives de f sur l’intervalle considéré. Si nous notons F
l’une d’elles, nous avons pour tout x de :
Où C est une constante réelle quelconque.
Résultat final
La fonction admet pour primitives sur
les fonctions définies par :
Où C est une constante réelle quelconque.