Déterminez les limites aux bornes de l’ensemble de définition et le comportement asymptotique de la fonction f définie par :
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Analyse |
On commence par déterminer l’ensemble de définition de f qui fournit les limites à déterminer.
Résolution |
Ensemble de définition
La fonction f n’est pas définie pour (l’argument de l’exponentielle n’étant pas défini pour cette valeur). L’ensemble de définition de la fonction f est donc :
Etude de f aux bornes infinies de son ensemble de définition
On a : .
Au voisinage de , on peut donc écrire l’équivalence : et donc
On en tire plusieurs choses.
D’une part : et .
D’autre part, le graphe de la fonction f admet une branche asymptotique de direction puisque le rapport admet une limite finie (égale à 1) lorsque x tend vers .
On doit donc maintenant rechercher une éventuelle asymptote.
Pour cela, il nous faut étudier : .
L’équivalence précédemment utilisée ne suffit plus pour conclure. Nous allons en fait utiliser le développement généralisé de f au voisinage de .
On a : . Donc : .
On en tire :
1. que le graphe de f admet, au voisinage de , une asymptote D d’équation ;
- qu’au voisinage de , le graphe de f est en dessous de cette asymptote (étant donné que au voisinage de ) et qu’au voisinage de , elle est au dessus.
Etude de f au voisinage de 0
Comme on a : et , il faut mener séparément les études du comportement de f à gauche et à droite de 0.
à Comportement de f à gauche de 0
On a : et . Donc : .
La fonction f admet une limite finie (nulle) à gauche en 0. Le graphe de f admet donc l’origine comme point limite et tend vers ce point en étant située sous l’axe des abscisses.
à Comportement de f à droite de 0
En effectuant le changement de variable , on : .
Or, on a, au voisinage de : donc : .
(C’est un résultat classique du cours : en , l’exponentielle « l’emporte » sur toute puissance de x, c’est à dire : )
Soit, finalement : . A droite de 0, le graphe de la fonction f admet donc l’axe des y comme asymptote verticale.
Graphe de f
Pour illustrer les résultats obtenus, nous fournissons ci-dessus une représentation du graphe de f (en orange) pour x compris entre –4 et 6,5. Les points proches de 0 à droite n’ont pas été représentés, la divergence vers étant très rapide du fait de l’exponentielle.
Résultat final |
Le comportement de f aux bornes de son intervalle de définition est résumé ci-dessous :
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