Etude de la continuité et de la dérivabilité en 0 de la fonction f définie par :
où désigne la partie entière de x.
L’étude se fait sur les intervalles et sur lesquelles la partie entière prend des valeurs constantes.
En guise de préambule, on a : et donc .
Sur , on a : et donc : .
De façon analogue, sur , on a et donc : .
On en déduit les limites de f à gauche et à droite en 0 :
et, naturellement, f étant constante sur : .
On a donc : : f est continue en 0.
On a : . Donc la fonction f est dérivable sur et on a :
Il vient alors :
De façon analogue, on a : . Donc la fonction f est dérivable sur et on a :
D’où :
La fonction f admet donc une dérivée à gauche ( ) et une dérivée à droite en 0 ( ) mais leurs valeurs étant différentes, f n’est pas dérivable en 0.
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