On s’appuie sur la définition de la dérivé d’une composée de deux fonctions dérivables et on utilise le fait que la fonction  est continue (puisque f est deux fois dérivable), en particulier en 0.

 

 

 

La fonction g est la composée de la fonction h définie sur  par  et de la fonction f : .

 

Ces deux fonctions sont dérivables sur .

Par ailleurs, on a : . En d’autres termes, l’image par h de  est .

Or f est dérivable sur  puisqu’elle est dérivable sur .

Donc, finalement,  est dérivable sur .

 

On a :  et, en particulier, .

 

Comme , il nous suffit, pour montrer que g admet un extremum local en 0, de montrer que sa dérivée change de signe en ce point.

 

Comme , l’étude du signe de  se fait en étudiant celui de  au voisinage de 0.

 

C’est à ce stade que nous allons utiliser conjointement deux hypothèses déterminantes de l’exercice : d’une part le fait que  est non nul ; d’autre part, le fait que  est continue en 0 (puisqu’elle est dérivable en ce point).

 

La continuité de  en 0 s’écrit :

 

 

Comme  est non nul, nous pouvons choisir  de telle sorte que l’intervalle  soit inclus dans  ou . Le schéma ci-dessous illustre cette idée (nous avons, pour fixer les idées, choisi  ) :

 

 

Par exemple, nous pouvons choisir .

 

Pour cette valeur de , parfaitement définie, nous disposons donc d’un réel strictement positif  qui est tel que :

 

 

Le point important ici est de noter que l’intervalle  est inclus dans  ou . Ainsi, pour ,  garde un signe constant : positif si  et négatif si .

 

 

Mais nous sommes intéressés par le signe de . Nous pouvons utiliser ce qui vient d’être fait pour peu que l’on ait : . Il suffit pour cela de considérer x dans l’intervalle  car alors on a :

 

 

 

Pour x appartenant à l’intervalle ,  garde donc un signe constant, positif ou négatif et donc  va s’annuler en 0 en changeant de signe puisque :

 

• Pour ,  et  sont de signes opposés (x étant négatif) ;
• Pour ,  et  sont de mêmes signes (x étant positif) ;

 

Plus précisément :

 

• Si  on a  sur  et  sur .

à L’extremum est un minimum ;

• Si  on a  sur  et  sur .

à L’extremum est un maximum ;

 

 

Nous devons maintenant faire une remarque relative aux hypothèses sur la fonction f.

 

En effet, l’hypothèse « f deux fois dérivable » n’a pas été utilisée en tant que telle !

 

Nous avons en fait utilisé l’une de ses conséquences, à savoir la continuité de  sur  et, plus précisément en 0. Aussi, aurions-nous pu affaiblir l’hypothèse et proposer à la place « f de classe  sur  » (i.e. f dérivable sur  et de dérivée continue sur  ) ou «  continue en 0 ». Nous aurions obtenu ainsi la même conclusion.