La première question consiste en une étude classique tandis que la seconde permet de souligner une jolie caractéristique de cette fonction …

 

 

 

 

1^ère question

 

 Domaine de définition

 

La fonction f est le produit de deux fonctions classiques :

 

• 
  
   définie par
  
   et dont l’ensemble de définition est :
  
   ;
• 
  
   définie par
  
   et dont l’ensemble de définition est :
  
  .

 

Il vient donc :

 

 

 

 

 Limites aux bornes de l’ensemble de définition

 

Limite en 0 à droite

 

On a :  et . On en tire (produit) : .

 

On en déduit que la courbe  représentative du graphe de f admet une asymptote verticale d’équation . Cette asymptote est l’axe des ordonnées.

 

Limite en  

 

C’est un résultat classique du cours sur le logarithme népérien : .

 

La courbe  représentative du graphe de f admet donc une asymptote horizontale d’équation . Cette asymptote est l’axe des abscisses et on a facilement :

 

• 
  
  . La courbe
  
   se trouve au dessus de son asymptote pour tout x réel strictement supérieur à 1 ;
• 
  
  . La courbe
  
   se trouve en dessous de son asymptote pour tout x réel compris entre 0 et 1 ;
• Enfin, la courbe
  
   coupe la droite d’équation
  
   au point de coordonnées
  
  .

 

 

 

 

 Continuité et dérivabilité

 

La fonction f est dérivable sur son ensemble de définition comme produit de deux fonctions dérivables sur cet ensemble. Elle y est donc continue.

 

On a :

 

 

 

Le dénominateur étant strictement positif sur , le signe de la dérivée est fourni par le numérateur.

 

Comme : , on obtient facilement :

 

• 
  
   et f est strictement croissante ;
• 
  
   et f est strictement décroissante.

 

Pour , la dérivée de f s’annule et la courbe  admet une tangente horizontale.

 

On a : . D’après ce qui précède, le point  est un maximum global.

 

 

 Tableau de variation

 

Nous pouvons réunir l’ensemble des résultats obtenus dans le tableau de variation suivant :

 

 

 

 Points particuliers

 

Sur , la fonction f prend ses valeurs dans . Or elle y est bijective puisqu’elle est continue et strictement croissante. On en déduit qu’il existe une valeur unique  telle que . Nous avons vu précédemment que l’on avait .

 

 

Nous recherchons les éventuels points d’inflexion en étudiant les valeurs de x qui annulent la dérivée seconde de f.

 

Comme on a : , la fonction f est dérivable une deuxième fois puisque sa dérivée est la produit de deux fonctions dérivables sur  et on a :

 

 

 

Il vient alors :  

 

La dérivée seconde change-t-elle de signe pour  ?

 

On a :

 

• 
  
   ;
• 
  
  .

Pour , la dérivée  s’annule en changeant de signe. La courbe  admet donc un point d’inflexion. Comme , les coordonnées de ce point sont .

 

A titre indicatif on a :  et .

 

 

 Courbe représentative  de la fonction f

 

Forts de l’ensemble des éléments précédents, nous pouvons fournir le tracé de la courbe représentative de la fonction f :

 

 

 

Remarque : si l’on choisit la même unité graphique sur les deux axes, la courbe apparaît très aplatie pour . Nous avons donc distendue la courbe en choisissant une unité graphique plus élevée sur l’axe des ordonnées.

 

 

2^ème question

 

Au cours de l’étude, nous avons été amenés à mettre en évidence les points suivants :

 

• Intersection de
  
   et de l’axe des abscisses :
  
  . Il s’agit du point
  
   ;
• Point où la tangente à
  
   est horizontale :
  
  . Il s’agit du point
  
   ;
• Point d’inflexion : . Il s’agit du point
  
  .

Il nous reste donc à déterminer les coordonnées du point  où la tangente à  passe par l’origine.

 

L’équation réduite de la tangente, lorsqu’elle n’est pas verticale, à  en un point de  de coordonnées  s’écrit :

 

 

 

Soit : .

 

Une telle droite passe par l’origine si, et seulement si, le terme constant de son équation est nul. C’est à dire : .

 

On cherche donc ici  vérifiant :

 

 

 

Le point  a donc pour abscisse .

 

Les abscisses des points , ,  et  sont donc, respectivement : 1, , e et .

 

On a : .

 

Ces quatre abscisses sont donc quatre termes d’une suite géométrique de raison .

 

 

 

 

A titre de complément, nous avons repris la figure précédente (en l’agrandissant) et fait apparaître les quatre points , ,  et  ainsi que les tangentes en ,  et .