On considère la fonction f définie par :
On considère les points suivants du graphe de f :
: intersection du graphe de f avec l’axe des abscisses ;
: point tel que la tangente en au graphe de f passe par
l’origine ;
: point tel que la tangente en au graphe de f soit
horizontale ;
: point tel que , abscisse de , annule la dérivée
seconde de f.
Montrer que , , et sont quatre termes successifs d’une suite géométrique.
L’exercice ne présente pas de difficulté particulière. Il convient de déterminer les réels , , et puis de montrer que l’on a : .
est tel que .
On a :
Finalement :
La fonction f est définie sur . Elle y est également dérivable comme rapport de fonctions dérivables sur cet intervalle.
On a :
L’équation de la tangent au graphe de f au point s’écrit :
Avec l’expression précédente, on obtient :
La tangente passe par l’origine si, et seulement si vérifie :
On doit donc avoir : , soit : .
On a :
Finalement :
On cherche ici à résoudre .
En utilisant l’expression obtenue ci-dessus, on a :
Finalement :
On cherche ici à résoudre .
Comme , on a :
Il vient alors :
Finalement :
On a obtenu : , , et
Il vient donc :
Les réels , , et sont donc quatre termes consécutifs d’une suite géométrique de raison .
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Les réels , , et sont quatre termes consécutifs d’une suite géométrique de raison . |
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