On considère la fonction f définie sur par :
a. Etudier le sens de variation de f sur ;
b. Donner les limites de f en 0 en en ;
c. Montrer que la fonction F définie sur par :
est une primitive de sur ;
d. Donner la primitive G de f sur qui s’annule pour ;
e. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de G au point d’abscisse 1.
L’exercice requiert une bonne maîtrise générale de la fonction logarithme népérien.
La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur .
On a : .
Afin d’étudier le signe de f’, on peut modifier l’expression précédente :
Pour tout x réel de l’intervalle , on a : et .
Le signe de la dérivée est donc celui du monôme .
On étudie la limite à droite en 0 puisque la fonction f n’est pas définie en 0 ou à gauche de 0 du fait de la présence du logarithme népérien.
On a immédiatement : .
Par ailleurs, on a : ; on en tire :
Finalement :
En on a : .
Par ailleurs : ; donc : .
On a donc affaire à une forme indéterminée.
On a :
Il vient immédiatement : .
Par ailleurs, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 on a : .
On a donc : et, de fait, .
D’où : .
Il vient donc :
La fonction F est la somme de et de .
La fonction est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et on a, pour tout x réel strictement positif : .
La fonction est également dérivable sur et on a : .
On a alors, pour tout x réel strictement positif :
La fonction F est dérivable sur et pour tout x de cet intervalle on a : .
On en déduit que la fonction F est une primitive du logarithme népérien sur .
Une primitive de la fonction est la fonction .
Par ailleurs, à la question précédente on a vu que la fonction était une primitive de la fonction logarithme népérien sur .
On en déduit que la fonction est une primitive de la fonction sur .
Finalement, les primitives de la fonction f sur sont les fonctions définies par :
, où k est une constante réelle
Soit, en développant et réduisant :
, où k est une constante réelle
G est la primitive de la fonction f sur vérifiant . La fonction G est donc de la forme ci-dessus et k doit vérifier : .
Soit : .
On a alors : ; d’où : .
La fonction G est donc définie par :
Une équation de la tangente à la courbe représentative de
D’après la question précédente, on a : .
Par ailleurs,
On a : .
Finalement l’équation ci-dessus se récrit : .
Une équation de la tangente à la courbe représentative de