On considère la fonction f définie par :
a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f ;
b. Etudier les variations sur de la fonction . En déduire les variations de la fonction f sur ;
c. Calculer la fonction dérivée de la fonction f ;
d. Soit la courbe représentative de la fonction f.
Donner une équation de la tangente à au point d’abscisse .
L’exercice consiste dans un premier temps à étudier les variations d’une fonction composée sans calculer la fonction dérivée. La dérivée est facilement obtenue en tant que dérivée de l’inverse d’un polynôme mais on peut également dériver f en tant que rapport.
On va rechercher les éventuelles valeurs de x qui annulent le dénominateur.
Il convient donc de résoudre : .
On a : .
Le discriminant étant strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution. La fonction f est donc définie pour toute valeur de x.
Soit la fonction g définie sur par :
La fonction g est dérivable sur en tant que fonction polynôme et on a pour tout x réel :
On en tire alors :
La fonction f est la composée de la fonction g et de la fonction inverse. Cette dernière est strictement décroissante sur . On en déduit que les sens de variation des fonction f et g sont opposés :
La fonction f est l’inverse d’une fonction dérivable sur qui ne s’annule pas sur cet ensemble. Elle est donc dérivable et on a immédiatement (voir cours) :
Pour tout réel x : .
D’où, la dérivée de g ayant été calculée à la question précédente :
On retrouve facilement ce résultat en considérant la fonction f comme un rapport et en appliquant la formule : .
Pour , on a : et .
Une équation de la tangente à au point d’abscisse s’écrit donc :