On considère la fonction f définie par :
a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f ;
b. Démontrer qu’il existe deux réels a et b tels que pour tout x de on ait :
c. En déduire que la courbe représentative de la fonction f admet en et une asymptote oblique dont on donnera une équation. Préciser la position de par rapport à .
Exercice classique sur une fonction rationnelle. La question délicate est la deuxième question. On peut procéder par identification de deux expressions, chose relativement peu évidente à mettre en oeuvre. La troisième question découle aisément de la précédente et requiert une bonne connaissance de la partie du cours relative aux asymptotes.
La fonction f est une fonction rationnelle. On va donc rechercher les éventuelles valeurs de x qui annulent sont dénominateur.
Il convient de résoudre : .
En écrivant que cette équation équivaut à , on en déduit immédiatement qu’elle n’admet pas de solution, un carré ne pouvant être négatif.
Il vient finalement :
Nous proposons deux approches :
è Procéder par identification
Pour tout x réel, on a :
On cherche donc deux réels a et b tels que pour tout x réel on ait :
Les dénominateurs étant égaux, cette égalité sera vérifiée si les numérateurs le sont. On veut donc, pour tout x réel :
Soit, en simplifiant :
On en tire alors les deux équations : et .
Finalement : et .
è Faire apparaître le dénominateur au numérateur
On a :
On retrouve l’expression obtenue précédemment.
Pour tout x réel :
Remarque : cette deuxième approche revient en fait à effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur au sens des polynômes.
A partir de l’expression obtenue à la question précédente, il vient :
De façon analogue, on obtient :
On déduit de ces résultats que la courbe représentative de la fonction f admet en et en une asymptote oblique d’équation : .
Pour étudier la position de par rapport à , on étudie le signe de .
On a : .
Pour tout x réel, on a : et .
Le dénominateur de est donc strictement positif et le signe de cette fraction est celui de son numérateur.
Il vient immédiatement :
Finalement :
La courbe représentative de la fonction f admet en et en une asymptote oblique d’équation : .
· Pour , on a : est au-dessus de ;
· Pour , on a : est en dessous de ;
· Pour , on a : coupe .