Le « problème » de la continuité de la fonction f se pose aux points d’abscisse 1 et 5.

Imposer la continuité en ces points fournit deux équations comportant un total de trois inconnues.

On exploite alors la dernière donnée de l’énoncé pour obtenir les valeurs de a, b et c.

 

 

 

La fonction f est continue sur les intervalles  et  car sur ces intervalles, nous avons affaire à des expressions polynomiales.

Par ailleurs, la fonction f est continue sur l’intervalle  car elle y est rationnelle.

 

On doit donc s’intéresser à ce qui se passe pour  et .

 

On a d’abord : .

On a ensuite : .

 

La fonction f sera donc continue en 1 si, et seulement si, on a l’égalité :

 

 (1)

 

On a également : .

Et : .

 

La fonction f sera donc continue en 5 si, et seulement si, on a l’égalité :

 

 (2)

 

Pour , la fonction f est dérivable en tant que fonction polynôme et on a :

 

 

L’égalité  équivaut alors à : . Soit :

 

L’égalité (2) se récrit alors : . Soit : .

On en tire : . D’où, finalement : . On a donc :

 

L’égalité (1) se récrit alors : . Soit : .

On a donc :