On travaille sur des intervalle de la forme  (  ) car la fonction partie entière y prend des valeurs constantes.

Pour la détermination de , on doit étudier l’éventuelle nullité de  lorsque l’exposant est négatif.

Pour ce qui est de la continuité, on s’intéressera principalement aux abscisses entières.

 

 

 

Pour tout x réel, on a, par définition de la partie entière : .

D’où : .

On en déduit : .

 

Le réel  étant strictement positif, toute puissance d’exposant réel (et donc, en particulier, entier) de ce nombre est définie.

 

Finalement :

 

 

 

 

Soit . Considérons l’intervalle .

Pour tout x réel de cet intervalle, on a :  et donc : .

La restriction de la fonction f à tout intervalle  est donc rationnelle (polynômiale lorsque  ) et donc continue.

 

Il convient donc, pour finir, d’étudier la continuité en un point d’abscisse entière k quelconque.

 

Pour tout x réel de l’intervalle , on a : .

Comme , on en déduit : .

 

Pour tout x réel de l’intervalle , on a : .

Comme , on en déduit : .

 

La fonction f est continue en  si, et seulement si, on a : , c'est-à-dire, d’après ce qui précède : , soit finalement : .

 

En définitive, la fonction f est discontinue pour tout x entier sauf en 1.

 

 

 

 

A titre de complément, nous fournissons une représentation graphique de la fonction f (cf. figure ci-dessous).