On réduit « la charge de travail » en remarquant que la fonction considérée est impaire.

La factorisation de la dérivée et, de fait, l’étude de son signe ne posent pas de difficulté dès lors que l’on connaît les valeurs des tangentes des angles simples.

 

 

 

Les fonctions tangente et identité sont impaires sur leur ensemble de définition et l’intervalle  est symétrique. On en déduit immédiatement que la fonction f est impaire.

 

On peut donc réduire l’étude à l’intervalle : .

La portion de la courbe , représentative de la fonction f, pour x appartenant à l’intervalle  s’obtiendra alors grâce à une symétrie de centre l’origine du repère choisi.

 

On a :  (rappelons que toute fonction impaire définie en 0 s’y annule).

 

Par ailleurs :  et .

D’où, par addition : .

On en déduit immédiatement que la courbe représentative  de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation .

 

La fonction f est la somme de deux fonctions dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition, en particulier sur I. On en déduit que f est dérivable sur I.

 

On a, pour tout réel x de I :

 

 

 

La fonction tangente prend des valeurs positives sur l’intervalle I, le facteur  est donc strictement positif sur cet intervalle et le signe de  est celui de : .

 

On a immédiatement : .

 

Par ailleurs, la fonction tangente est strictement croissante sur I. On en déduit immédiatement :

 

• Pour tout réel x dans
  
  ,
  
  , soit
  
   ;
• Pour tout réel x dans
  
  ,
  
  , soit
  
  .

 

On déduit de ce qui précède :

 

• La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle
  
   ;
• La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle
  
  .

 

La fonction f admet donc en  un minimum local et on a :

 

 

 

Nous pouvons réunir la plupart des éléments précédents dans le tableau de variation de f sr I :

 

 

 

 

Remarque : le tracé est facilité en déterminant une équation de la tangente à  à l’origine. Il suffit, pour l’obtenir, de calculer . On obtient facilement : .

 

 

A titre de complément, nous fournissons une représentation graphique de la fonction f (cf. figure ci-dessous).