Soit n un entier naturel non nul et f la
fonction définie sur par :
On note la courbe représentative de la fonction f
dans un repère.
Soit a l’abscisse du point A de tel que la tangente à
en ce point passe par l’origine.
Soit b l’abscisse du point B de où la tangente est horizontale.
Soit c l’abscisse du point d’inflexion C
de .
Calculer a, b et c puis vérifier que l’on a :
Analyse
Les calculs ne posent pas de difficulté particulière et se limitent essentiellement à ceux des dérivées première et seconde de la fonction f. Les équations requises pour l’obtention des abscisses a, b et c sont très simples.
Résolution
Soit n entier naturel non nul fixé.
La fonction f est dérivable sur comme rapport de deux fonctions dérivables sur
cet intervalle, le dénominateur ne s’y annulant pas. Pour tout x réel
strictement positif, on a :
L’équation réduite de la tangente à au point
s’écrit alors :
Cette tangente passe par l’origine si, et seulement si, l’ordonnée à l’origine est nulle.
C'est-à-dire :
Cette égalité équivaut à : ,
soit enfin :
On a bien :
La tangente à au point
est horizontale. On a donc :
.
Soit :
Cette égalité équivaut à : ,
soit enfin :
Comme ,
on a immédiatement :
,
c'est-à-dire :
.
Le point est le point d’inflexion de
.
Rappelons qu’il s’agit d’un point où la dérivée
de la fonction f admet un extremum.
Déterminons alors la dérivée seconde de la fonction f.
Pour tout x strictement positif, on a :
On en déduit immédiatement que la fonction s’annule et change de signe pour
.
La fonction admet donc un extremum pour cette valeur. On a
donc :
Comme : ,
on a immédiatement :
.
C'est-à-dire :
.
D’après les inégalités obtenues ci-dessus, on a bien :
On a enfin :