Soit f la fonction définie par :
On note la courbe représentative de la fonction f
dans un repère orthogonal.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f ;
2. Montrer que l’étude de f peut se
faire sur l’intervalle .
Indiquer alors comment construire
;
3. Déterminer les variations de f
sur et dresser son tableau de variation.
4. Déterminer l’unique solution de l’équation
sur l’intervalle
.
5. Déterminer l’équation réduite de la
tangente à
au point d’abscisse
;
6. Représenter et
.
Analyse
Un petit mélange de trigonométrie et de logarithme népérien sans difficulté excessive …
Résolution
Question 1.
La fonction f est définie pour tout x réel tel
que : .
Intéressons-nous alors à l’inéquation : .
Le discriminant associé au trinôme vaut :
et comme le coefficient de
est strictement positif, on en déduit que pour
tout X réel, on a :
.
En définitive : pour tout x réel, on a : et la fonction f est définie sur
.
Question 2.
Dans un premier temps, notons que la fonction cosinus est -périodique. Il en va alors de même pour la
fonction f ! Ainsi, on peut limiter l’étude de f à un
intervalle de longueur
:
par exemple.
Mais la fonction cosinus est également paire et, ici encore,
c’est aussi le cas pour la fonction f. On peut donc finalement limiter
l’étude de f à l’intervalle .
Le
domaine d’étude de f est l’intervalle .
Pour construire la courbe représentative de la fonction f, on procèdera alors
comme suit :
- On
construite la courbe représentative de la fonction f dans un repère
orthogonal pour x variant dans l’intervalle ;
- On construit le symétrique orthogonal de cette courbe par rapport à l’axe des ordonnées ;
- On
translate la courbe obtenue de vecteurs de la forme avec.
Question 3.
La fonction f est dérivable sur et donc sur
en tant que composée :
- De
la fonction dérivable sur(comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle) et prenant ses valeurs dans(cf. la première question) ;
- De
la fonction logarithme népérien dérivable sur .
Pour tout réel x de l’intervalle on a alors :
Sur l’intervalle :
- La
fonction sinus s’annule en 0 et en ; elle prend des valeurs strictement positives sur;
- La
fonction : s’annule pouret en tenant compte du fait que la fonction cosinus est strictement décroissante sur l’intervalleil vient :
- Pour
tout x réel dans ,;
- Pour
tout x réel dans ,.
De ce qui précède, on tire le tableau de signes suivant :
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
+ |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
+ |
0 |
On déduit immédiatement de ce qui précède que la fonction f est :
- Strictement
décroissante sur l’intervalle ;
- Strictement
croissante sur l’intervalle .
Par ailleurs, la fonction f admet un minimum global
pour et ce minimum vaut :
Pour pouvoir construire le tableau de variation demandé, il
ne nous reste plus qu’à évaluer : et
:
On obtient alors :
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
+ |
0 |
|
f |
|
|
|
|
0
|
Question 4.
On a :
Sur l’équation
admet pour solutions les réels de la forme
avec
.
On a alors :
Sur l’intervalle ,
l’équation
admet comme unique solution :
.
Sur l’équation
admet pour solutions les réels de la forme
avec
.
On a alors :
Le dernier encadrement ne peut être réalisé pour .
En définitive :
L’équation
admet comme unique solution sur l’intervalle
le réel
.
Question 5.
Avec et en tenant compte de
,
l’équation réduite de la tangente
s’écrit :
On a :
L’équation
réduite de la tangente au point est :
.
Question 6.
Comme indiqué à la première étape, nous procédons par étape :
Dans un premier temps, nous donnons la courbe représentative
de la fonction f pour x variant dans l’intervalle :
Nous effectuons ensuite une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées :
Nous reproduisons alors la courbe ci-dessus via des
translations de vecteurs avec
et rajoutons la tangente
:
