Soit f la fonction définie sur par :
On note la courbe représentative de la fonction f
dans un repère orthogonal.
1. Montrer que la fonction f est continue en 0.
2. Calculer les limites de f en e
(à gauche et à droite) et en (on interprètera graphiquement les résultats
obtenus).
3. Etudier et interpréter le résultat obtenu.
4. Etudier les variations de la fonction f.
5. Déterminer l’équation réduite de la
tangente T à au point où
coupe l’axe des abscisses.
6. Tracer T, et tout élément graphique mis en évidence dans
les questions précédentes.
Analyse
Une composée du logarithme népérien et d’une fonction
rationnelle ( ). L’étude fait appel à quelques résultats
classiques relatifs à la fonction logarithmes népérien. Les calculs de limites
requis sont assez nombreux (trois premières questions) mais ne posent pas de
difficulté particulière.
Résolution
Question 1.
La fonction f n’étant pas définie à gauche de 0, on a :
f continue en
0
Comme ,
on a immédiatement
.
Le calcul de conduit donc à une forme indéterminée du type
«
».
Au numérateur comme au dénominateur, c’est le terme « »
qui donne une limite infinie. On factorise donc par ce terme et il vient :
Comme ,
il vient immédiatement :
et, finalement :
Comme ,
on en conclut immédiatement :
La fonction f est continue en 0.
Question 2.
Notons d’abord que l’on a :
On a ensuite : et
Il vient donc :
et
D’un point de vue graphique, on en tire :
La
courbe représentative admet une asymptote verticale d’équation
.
Comme ,
on a immédiatement
.
Le calcul de conduit donc également à une forme
indéterminée du type «
».
Au numérateur comme au dénominateur, c’est le terme « »
qui donne une limite infinie. On factorise comme à la question précédente et,
en tenant compte de
,
il vient :
D’un point de vue graphique, on en tire :
La
courbe représentative admet une asymptote horizontale d’équation
.
Question 3.
Pour tout réel x strictement positif, on a :
En tenant compte de la limite classique : ,
il vient :
.
Plus précisément, comme, pour tout réel x dans ,
on a
,
il vient
et, finalement :
.
D’où :
On déduit de ce résultat :
La fonction f n’est pas dérivable en 0.
La
courbe représentative de la fonction f admet au point de coordonnées
une tangente verticale.
Question 4.
Les fonctions et
sont dérivables sur
,
la fonction logarithme népérien étant dérivable sur cet intervalle.
Sur tout intervalle de ,
la fonction f est ainsi dérivable comme rapport de deux fonctions
dérivables sur l’intervalle considéré.
On a alors, pour tout x réel de :
Il vient immédiatement : ,
d’où :
.
La
fonction f est strictement croissante sur et sur
.
Question 5.
On a d’abord, pour x strictement positif différent de e :
La courbe coupe l’axe des abscisses au point A
d’abscisse
.
L’équation réduite de la tangente en ce point s’écrit :
.
On a bien sûr : .
Par ailleurs, d’après la question précédente, on a :
L’équation réduite cherchée s’écrit donc : .
L’équation
réduite de la tangente T au point s’écrit :
Question 6.
On obtient :
