Soit f la fonction définie par :

On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f .

2. Montrer que admet trois asymptotes : une asymptote verticale et deux asymptotes obliques d’équations et (on précisera la position de par rapport à ces deux asymptotes).

3. Etudier les variations de la fonction f (on montrera, on particulier, que sur la fonction f admet un maximum global pour et que l’on a : ).

4. Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation suivant les valeurs du réel k. Résoudre l’équation : on note son unique solution.

5. On note A le point de d’abscisse . Déterminer l’équation réduite de la tangente T à au point A.

6. Tracer les trois asymptotes, T et .

Analyse

Le logarithme népérien et l’exponentielle au programme ! Une étude variée qui passe en revue de nombreuses notions du programme de Terminale. La présence de la valeur absolue ne pose pas de difficulté insurmontable …

Résolution

Question 1.

existe si, et seulement si, on a : (l’argument du logarithme népérien est positif du fait de la valeur absolue). Or, on a immédiatement : .

On en déduit finalement :

Remarque : l’analyse précédente nous donne aussi :

;
.

Question 2.

On a d’abord la limite classique : . D’où : et, par composition : .

Comme , il vient immédiatement (somme) : .

Mais on a aussi : , égalité qui permet d’affirmer que la courbe représentative de la fonction f admet en une asymptote oblique d’équation .

On a l’autre limite classique : . D’où : et, par composition : .

Pour tout réel x strictement positif, on a :

Et, de fait : .

Comme , il vient : et, par composition : .

On a alors : , égalité qui nous permet de conclure que la courbe représentative de la fonction f admet en une asymptote oblique d’équation .

Enfin, on a : d’où .

Il vient alors, par composition : puis . On en déduit immédiatement que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation .

Conclusion générale :

La courbe représentative de la fonction f admet :

· Une asymptote verticale d’équation ;

· Une asymptote oblique d’équation en ;

· Une asymptote oblique d’équation en .

Question 3.

Sur tout intervalle I où une fonction u est dérivable et ne s’annule pas, on a : .

On a donc, pour tout x non nul :

On a : .

On a alors :

;
.

Enfin, on a classiquement : .

On en tire le tableau de signe :

x				0
		0	+		+
				0	+
	+	0			+

Finalement :

La fonction f est :

· Strictement croissante sur les intervalles et ;

· Strictement décroissante sur l’intervalle .

Sur , on peut donc conclure que la fonction f admet un maximum global pour .

On a :

On a bien . On constate ainsi que la courbe représentative passe par le point de coordonnées qui appartient à l’asymptote d’équation .

Question 4.

Notons dans un premier temps que la fonction f, dérivable sur et , y est donc continue.

Sur l’intervalle , la fonction f est continue et strictement croissante.

Par ailleurs, on a : et .

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de conclure que sur l’intervalle :

Si
, l’équation
admet une solution unique ;
Si
l’équation
n’admet pas de solution.

Sur l’intervalle , la fonction f est continue et strictement décroissante.

Par ailleurs, on a : et .

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de conclure que sur l’intervalle :

Si
, l’équation
admet une solution unique ;
Si
l’équation
n’admet pas de solution.

Enfin, sur l’intervalle , la fonction f est continue et strictement croissante.

Par ailleurs, on a : et .

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de conclure que pour tout réel k, l’équation admet une unique solution sur l’intervalle .

Les éléments précédents nous permettent alors de conclure :

· Si , l’équation admet trois solutions (une dans chacun des intervalles , et ) ;

· Si , l’équation admet deux solutions ( et une deuxième solution dans l’intervalle ) ;

· Si , l’équation admet une unique solution (appartenant à l’intervalle ).

D’après l’étude précédente, l’équation admet une solution unique, strictement positive.

Pour tout réel x strictement positif, on a : et il vient :

Posons alors : . L’équation obtenue ci-dessus se récrit :

Le discriminant associé vaut : et les racines :

Comme , nous ne retenons que la seconde racine qui est strictement positive.

On doit donc résoudre : et il vient immédiatement : .

Conclusion :

L’équation admet une unique solution :

Question 5.

On a d’abord : . L’équation réduite de la tangente à en s’écrit donc :

Il convient donc de déterminer .

En tenant compte du fait que β vérifie et que l’on a : , il vient :

En définitive :

L’équation réduite de la tangente au point s’écrit :

Question 6.

On obtient :