On considère la fonction  définie sur  par :

 

 

 

1.           Déterminer les limites de  en 1 à droite et en .

2.           Etudier les variations de .

3.           Dresser le tableau de variation de .

4.           Démontrer que  s’annule pour une unique valeur, notée α, sur .

5.           Démontrer que l’on a :  ; donner un encadrement de α d’amplitude .

6.           Donner, sans justification, le signe de  sur .

 

 

On considère maintenant la fonction f définie sur  par :

 

 

 

On note  sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

 

7.           Déterminer la limite de f en 1 à droite (faire apparaître le rapport  …) et donner une interprétation graphique du résultat obtenu.

8.           Déterminer la limite de f en  (factoriser par x et changer de variable) et préciser la position de  par rapport à l’asymptote T.

9.           Montrer que pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a :

 

 

 

10.      Déduire des questions 6 et 8 le sens de variation de la fonction f sur .

11.      Montrer que : .

12.      Tracer T et .

 

 

 

 

Analyse

 

Le logarithme népérien et l’exponentielle au programme ! Une étude variée qui passe en revue de nombreuses notions du programme de Terminale. La présence de la valeur absolue ne pose pas de difficulté insurmontable …

 

 

 

Résolution

 

Question 1.

 

Comme  et , il vient (différence) :

 

 

 

On a également : .

Comme , on a (produit) : .

Nous avons donc ici affaire à une forme indéterminée du type «  ».

On a, x étant non nul sur l’intervalle  :

 

 

 

Or, on a : .

On en déduit (différence) :  puis (produit) :

 

 

 

Conclusion :

 

 et  

 

 

Question 2.

 

La fonction  est dérivable sur , et à fortiori sur , en tant que fonction polynôme.

 

La fonction  est dérivable sur  en tant que produit de deux fonctions dérivable sur cet intervalle (la fonction identité et la fonction logarithme népérien, dérivable sur  et donc sur  ).

 

La fonction  est donc dérivable sur  comme différence deux fonctions dérivables sur cet intervalle.

 

Pour tout réel x de l’intervalle , on a alors :

 

 

 

On a alors, en tenant compte de  et du fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur  :

 

·         ;

·         ;

·        .

 

Conclusion :

 

La fonction  est strictement croissante sur  et strictement décroissante sur .

 

 

Question 3.

 

Pour pouvoir dresser le tableau de variation de la fonction j, il nous reste à évaluer : .

 

On a : .

 

On a alors :

 

x

 

 

e

 

 

 

||

+

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Question 4.

 

La fonction  est continue (comme fonction dérivable) et strictement croissante (c.f. la question précédente) sur l’intervalle .

Par ailleurs, on a :  et .

On en déduit : .

La fonction  ne s’annule donc pas sur l’intervalle .

 

La fonction  est continue (c.f. ci-dessus fonction dérivable) et strictement décroissante (c.f. la question précédente) sur l’intervalle .

Par ailleurs, on a :  et .

Or, , le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de conclure que l’équation  admet une solution unique dans l’intervalle .

 

Conclusion :

 

La fonction  s’annule pour une unique valeur α dans l’intervalle .

 

 

Question 5.

 

A la question 3. on a calculé : .

Par ailleurs, on a : .

On a donc : , soit : .

Or, la fonction j est strictement décroissante sur l’intervalle .

On en déduit alors : .

 

 

 

 

En tabulant la fonction  à partir de 3 avec un pas de 1, on obtient :  et . D’où : .

En tabulant alors la fonction  à partir de 4 avec un pas de 0,1, on obtient :  et . D’où : .

En tabulant enfin la fonction  à partir de 4,9 avec un pas de 0,01, on obtient :  et . D’où : .

 

 

 

 

Question 6.

 

x

                                                                α                                                              

 

+                                0                                  

 

 

Question 7.

 

Pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a :

 

 

 

Or on a :  et .

D’où :  et finalement (composition) : .

 

 

 

 

Graphiquement :

 

La courbe représentative  de la fonction f admet un point limite, le point de coordonnées .

 

 

Question 8.

 

On a, x étant non nul sur l’intervalle  :

 

 

 

On a :  et (croissance comparée) : .

On en déduit (composition) : .

Par ailleurs : . Donc (composition) :  et .

On en déduit alors :  et finalement (composition) : .

 

 

 

 

Graphiquement, la courbe représentative  de la fonction f admet en  une asymptote horizontale T d’équation . Pour préciser leur position respective, nous étudions le signe de la différence : .

 

Pour tout x réel de l’intervalle , on a : .

Comme x est strictement supérieur à 1, nous avons  et .

On en déduit finalement que la courbe  est située au-dessus de T.

 

La courbe représentative  de la fonction f admet en  une asymptote horizontale T d’équation  et est située au-dessus de T.

 

 

Question 9.

 

La fonction  est dérivable sur l’intervalle  comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. La fonction exponentielle étant dérivable sur , on en déduit finalement que la fonction f est dérivable sur .

 

Pour tout réel x strictement supérieur à 1, la dérivée de la fonction  est la fonction :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

 

 

 

Question 10.

 

Pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a :  et . On déduit alors de la question précédente que le signe de  est identique à celui de .

 

La question 6 nous permet alors de conclure :

 

·        Si , on a :  et donc  ;

·         ;

·        Si , on a :  et donc .

 

Finalement :

 

La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle  et strictement décroissante sur l’intervalle .

 

 

Question 11.

 

On a : .

Or,  équivaut à : .

Il vient alors :  et donc : .

Ainsi : .

 

 

 

 

Question 12.

 

 

Représentation graphique de la fonction  et de l’asymptote T d’équation .