On considère la fonction f définie par :

 

 

On note  sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 4 cm).

 

Partie A

1.     En remarquant que  est solution de l’équation , factoriser  et montrer que l’ensemble de définition  de la fonction f est l’intervalle : .

 

2.     Déterminer la limite de la fonction f en  à droite et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

 

3.     a.  Déterminer la limite de la fonction f en .

     b.  Montrer que . Les courbes représentatives de la fonction f et de la fonction logarithme népérien sont donc asymptotes. Préciser leur position relative en étudiant le signe de  sur .

 

4.     a.  Justifier que la fonction f est dérivable sur .

     b.  Montrer que l’on a, pour tout réel x de  :

 

     c.  Etudier les variations de la fonction  sur  et montrer que g s’annule pour une unique valeur . En donner un encadrement d’amplitude .

     d.  Déduire de la question précédente le signe de  puis donner le tableau de variation de f.

 

5.     Montrer que  coupe l’axe des abscisses en deux points et donner pour chacun d’eux une équation de la tangente à .

 

6.     En vous aidant des questions 4.d. et 5. donner le signe de f.

 

7.     Tracer  (on fera également apparaître les divers éléments graphiques mis en évidence dans l’étude précédente, ces éléments facilitant le tracé de  ).

 

Partie B

On considère maintenant la fonction  définie par :

 

 

1.     Préciser l’ensemble de définition  de la fonction .

2.     Déterminer  et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

3.     Déterminer . Montrer que la droite  d’équation  est asymptote à la courbe représentative  de la fonction . Préciser la position relative de  et de .

4.     Etudier les variations de la fonction  et montrer qu’elle admet un minimum global en .

 

 

 

 

Analyse

 

Une fonction rationnelle, la fonction logarithme népérien et l’exponentielle au programme ! Une étude variée qui passe en revue de nombreuses notions du programme de Terminale S.

L’essentiel de la première partie est l’étude du signe de la dérivée de la fonction proposée, étude qui revient à celle du signe d’une fonction polynôme du 3ème degré. Dans le seconde partie, on compose l’exponentielle avec la fonction initiale. L’étude des variations ne requiert pas de dériver à nouveau …

 

 

 

Résolution

 

Partie A

 

Question 1.

 

 étant solution de l’équation , on peut factoriser  par . Comme le coefficient de «  » et le terme constant sont égaux à 1, cette factorisation est de la forme :

 

 

Pour tout x réel, on a :

 

 

Par identification, on obtient immédiatement : , soit : .

Finalement :

 

 

 

On a : .

Or, pour tout x réel, on a :  et donc .

Par ailleurs, le discriminant associé au trinôme  vaut : . Puisqu’il est strictement négatif, le trinôme  garde un signe constant sur , celui du coefficient de «  », qui vaut 1. On a donc : .

En définitive, on a :

 

 

 

 

 

Question 2.

 

On a immédiatement d’après ce qui précède : .

Par ailleurs : .

Par composition, il vient alors : .

 

 

 

La courbe représentative  de la fonction f admet une asymptote verticale d’équation : .

 

 

Question 3.a.

 

On a cette fois : .

Par ailleurs : .

Par composition, il vient alors : .

 

 

 

 

Question 3.b.

 

Pour tout réel x strictement positif, on a :

 

 

On a : .

Par ailleurs (continuité de la fonction ln en 1) : .

Par composition, il vient alors : .

 

 

 

 

Etudier le signe de  sur  équivaut à étudier celui de  sur .

On a d’abord, sur  : .

La fonction ln étant strictement croissante sur , on en tire immédiatement :

 

·        Pour tout réel x dans ,  : la courbe représentative  de la fonction f est située sous celle de la fonction ln.

·        Pour ,  : la courbe représentative  de la fonction f coupe celle de la fonction ln.

·        Pour ,  : la courbe représentative  de la fonction f est située au-dessus de celle de la fonction ln.

 

 

Question 4.a.

 

La fonction  est une fonction rationnelle définie sur . Elle est donc dérivable sur tout intervalle de , en particulier sur .

Par ailleurs, on a :  (cf. la question 1.). La fonction  prend des valeurs strictement positives sur . Comme la fonction logarithme népérien est dérivable sur , on en déduit finalement :

 

La fonction f est dérivable sur son ensemble de définition.

 

 

Question 4.b.

 

La dérivée de la fonction  est la fonction définie par :

 

 

On en déduit alors, pour tout x de  :

 

 

 

 

 

Question 4.c.

 

Considérons la fonction polynôme  définie sur .

g est dérivable sur  en tant que fonction polynôme et on a immédiatement :

 

 

Pour tout x réel dans , on a : , d’où : . On en déduit immédiatement que la fonction g est strictement croissante sur .

 

La fonction  est strictement croissante sur .

 

 

La fonction g est continue sur  en tant que fonction polynôme.

On vient de voir qu’elle y est strictement croissante.

 et .

Comme , on déduit de ce qui précède, d’après le théorème de bijection, que l’équation  admet une solution unique α sur l’intervalle .

 

En tabulant g avec :

·        un pas de 1, on obtient : .

·        Puis un pas de , on obtient : .

·        Puis un pas de , on obtient : .

 

L’équation  admet une solution unique α sur l’intervalle  et on a :

 

 

 

Question 4.d.

 

On a :

 

 

En tenant compte du fait que l’on a :  et , le signe de  sur  est donc celui du produit : .

 

D’après la question précédente, la fonction g est strictement croissante sur  et s’annule pour une unique valeur α sur cet intervalle. On en déduit immédiatement :

·        Si , on a : .

·        Si , on a : .

·        Si , on a .

 

On a alors le tableau de signes :

 

x

-1

 

0

+

α

+

 

 

 

 

 

 

0

+

 

 

 

+

0

 

0

+

 

 

 

Les éléments obtenus aux questions précédentes nous permettent de dresser le tableau de variations de la fonction f. On doit simplement calculer  :

 

 

 

 

 

Question 5.

 

L’abscisse x d’un point d’intersection de la courbe représentative  de la fonction f et de l’axe des abscisses vérifie : , c'est-à-dire : .

On a :

 

 

On a vu à la question précédente que l’on avait : . Au point , la courbe représentative  de la fonction f admet donc une tangente horizontale d’équation : .

 

Par ailleurs, on a . Au point , la courbe représentative  de la fonction f admet donc une tangente d’équation : .

 

La courbe représentative  de la fonction f coupe l’axe des abscisses aux points  et . Elle y admet des tangentes ayant pour équations respectivement :  et .

 

 

Question 6.

 

D’après la question précédente, la fonction f s’annule pour  et .

 

Sur l’intervalle , la fonction f est strictement croissante et on a donc : . La fonction f prend des valeurs négatives sur l’intervalle .

 

Sur l’intervalle , la fonction f est strictement décroissante et on a donc : . La fonction f prend des valeurs négatives sur l’intervalle .

 

Sur l’intervalle , la fonction f est strictement croissante et on a donc : . La fonction f prend des valeurs négatives sur l’intervalle .

 

Sur l’intervalle , la fonction f est strictement croissante et on a donc : . La fonction f prend des valeurs positives sur l’intervalle .

 

En définitive :

 

·        Pour tout réel x de l’ensemble , on a : .

·        Pour tout réel x dans l’intervalle , on a : .

·        .

 

 

Question 7.

 

 

 

 

 

Partie B

 

Question 1.

 

Pour tout x réel, on a : . Or, on a : . On en déduit que l’on peut calculer  pour tout x réel.

 

 

 

 

Question 2.

 

On a :  et, la fonction f étant continue en 0 : .

On en déduit (composition) :

 

 

 

La courbe représentative  de la fonction  admet une asymptote horizontale d’équation : .

 

 

Question 3.

 

On a :  et .

On en déduit (composition) :

 

 

 

 

On s’intéresse maintenant à : .

Pour tout x réel, on a :

 

 

On a : . Par ailleurs : .

On en déduit (composition) :  puis (somme et rapport) : . La continuité du logarithme népérien en 1 nous donne alors : . Finalement (composition) :

 

 

D’où :

 

La droite  d’équation  est asymptote à la courbe représentative  de la fonction  en .

 

 

Pour étudier la position relative de  et de , on étudie le signe de  sur .

 

On a :

 

 

On a : .

Puis .

En définitive :

 

·        Si x est strictement négatif, on a : . La courbe représentative  de la fonction  est située sous la droite .

·        Si x est nul, on a : . La courbe représentative  de la fonction  coupe la droite .

·        Si x est strictement positif, on a : . La courbe représentative  de la fonction  est située au-dessus de la droite .

 

 

Question 4.

 

Pour étudier les variations de , nous pouvons en établir la dérivabilité, en calculer la dérivée et étudier le signe de cette dernière. On peut aussi s’affranchir de ce calcul et de cette étude en notant que la fonction exponentielle est strictement croissante sur . Puisqu’elle prend des valeurs strictement positive, on note immédiatement que les variations de  coïncideront avec celle de f sur l’intervalle . Or, d’après la question 4.d. de la partie A, nous pouvons affirmer que la fonction f est :

·        strictement décroissante sur l’intervalle .

·        strictement croissante sur l’intervalle .

 

On se demande alors pour quelles valeurs de x on a : .

On a :

 

 

D’où :

 

La fonction  est :

·        strictement décroissante sur l’intervalle .

·        strictement croissante sur l’intervalle .

 

Il en découle immédiatement que la fonction  admet un minimum global en .

 

A titre de complément, nous fournissons une nouvelle figure où nous avons fait apparaître la fonction  et l’asymptote .