On a  (par valeurs positives) et donc . On peut déterminer le développement limité demandé soit en faisant apparaître une expression dont la limite en 0 est finie, soit en développant directement . Les deux approches étant très voisines, nous détaillons essentiellement la première.

 

 

 

1^ère approche : faire apparaître une expression de limite finie

 

On a la limite classique : , d’où : .

 

On peut alors récrire f comme suit :

 

 

 

Nous sommes ainsi ramenés à la détermination du développement limité de  en 0 à un ordre qu’il convient de préciser.

Pour que le développement limité généralisé recherché soit d’ordre 6, nous devons développer  à l’ordre 8. La fonction  doit donc être développée à l’ordre 10 puisque son développement limité à l’origine devra être divisé par . On va donc partir du développement limité en 0 à l’ordre 5 du sinus :

 

 

D’où, en composant les fonctions :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

Le développement limité de l’inverse et obtenu comme suit :

 

 

 

Finalement, en multipliant par  :