On a  et  donc  et . On peut déterminer le développement limité demandé soit en faisant apparaître une expression dont la limite en 0 est finie, soit en développant directement le numérateur et le numérateur. Les deux approches étant très voisines, nous détaillons essentiellement la première.

 

 

 

1^ère approche : faire apparaître une expression de limite finie

 

On a les limites classiques :  et .

 

La seconde nous permet d’écrire : .

 

On peut alors récrire f comme suit :

 

 

 

Nous sommes ainsi ramenés à la détermination de développements limités à l’origine des fonctions  et  à des ordres qu’il convient de préciser.

 

Pour que le développement limité généralisé recherché soit d’ordre 3, nous devons développer les fonctions g et h à l’ordre 4.

 

 

 Développement limité à l’origine à l’ordre 4 de  

 

On développe le sinus à l’ordre 5 : . Il vient alors :

 

 

 

 

 Développement limité à l’origine à l’ordre 4 de  

 

On commence par effectuer le développement limité à l’ordre 4 de . Pour cela, nous avons besoin du développement limité à l’ordre 6 de  et donc du développement limité à l’ordre 3 de l’exponentielle :

 

 

 

D’où :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

Pour obtenir le développement limité de , il convient alors d’effectuer la division suivant les puissances croissantes de 1 par  :

 

 

 

(Il n’est pas utile de préciser, en particulier au niveau du calcul, l’expression du polynôme R : seul le quotient nous intéresse ici.)

 

 

 

Il vient alors :

 

 

 

Il convient désormais de multiplier les deux développements limités intermédiaires obtenus :

 

 

 

Enfin, en multipliant ce résultat par , on obtient le développement généralisé demandé :