La fonction f définie par  admet  comme ensemble de définition. Elle est paire et on a clairement : . Classiquement, pour obtenir le développement limité généralisé demandé, on se ramène à un développement limité à l’origine tout en exhibant le terme conduisant à ces limites infinies.

 

 

 

On pose :  avec .

 

On a alors : .

 

Il vient alors :  

 

Comme on a : , la forme précédemment obtenue nous permet d’exhiber le terme qui rend la limite infinie. Il s’agit de . L’autres terme fournira un développement limité « classique ».

 

Nous devons développer  à l’origine à l’ordre 4. Pour cela, on utilise :

 

 

Avec  et , on obtient :

 

 

 

Il vient alors, en remplaçant h par  :