On a  et  d’où . On détermine le développement limité demandé en effectuant un changement de variable.

 

 

 

 

On pose .

 

Il vient alors :

 

 

et

 

 

On peut alors écrire :

 

 

 

On a ainsi fait apparaître une expression qui admet un développement limité à l’origine. Comme nous souhaitons obtenir un développement généralisé de f à l’ordre 2 et que le terme « divergent » est en , il nous faut déterminer le développement limité à l’ordre 3 de :

 

 

 

Le numérateur et le dénominateur doivent être développés à l’ordre 3 :

 

 

 

Et :

 

 

d’où :

 

 

On effectue alors la division suivant les puissances croissantes de  par  à l’ordre 3 :

 

 

 

Le quotient cherché est donc :

 

 

 

Il vient donc :

 

 

 

Soit :

 

 

 

En revenant à la variable d’origine : , on a finalement :

 

 

 

 

En guise de complément, ce résultat nous permet d’écrire :