On a  d’où . On détermine le développement limité demandé en faisant apparaître une expression admettant un développement limité à l’origine.

 

 

 

 

On a, pour  : .

 

Or  et  admet un développement limité à l’origine.

 

On va donc commencer par déterminer le développement limité de  puis celui de son inverse. Comme  sera en facteur et que l’on nous demande un développement limité généralisé à l’ordre 2, il nous déterminer les développements limités de  et de son inverse à l’ordre 4 à l’origine.

 

On a d’abord :

 

 

 

D’où :

 

 

 

L’élévation au carré se fait en ne considérant que les puissances inférieures ou égales à 4 du carré de la partie régulière.

 

Il vient :

 

 

 

Pour obtenir l’inverse de ce développement limité, nous effectuons la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 4 de 1 par  :

 

 

 

On a donc :

 

 

 

En multipliant par , il vient finalement :